导数的_概念及运算

1、导数的概念与运算一、要点精讲1导数的概念函数在处的瞬时变化率是=称为函数在处的导数，记作，即=。说明：（1）与的值有关，不同的其导数值一般也不相同；与的具体取值无关。（2）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。（2）导数是研究在点处及其附近函数的改变量与自变量改变量之比的极限，它是一个局部性的概念，若存在，则函数在点处就有导数，否则就没有导数，即存在表示是一个定数，函数在点处的导数应是一个定数。 由导数的定义可知，求函数在点处的导数的步骤：（一差二比三极限）（1）求函数的增量=f（x+）f（x）； （2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数=。2. 导函数当时，是一个确定的数，这样，当变化时，

2、便是的一个函数，我们称它为的导函数，简称导数，也可记作，及即=函数在处的导数就是函数在处的函数值，即3. 导数的意义几何意义函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切线的斜率是。物理意义：若物体运动方程是，在点处导数的意义是处的瞬时速度.设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度。4几种常见函数的导数 （C为常数） 5两个函数的和、差、积的求导法则法则1： ( 法则2： （为常数）法则3： =。6. 复合函数求导步骤：分解求导回代。 法则： 三、课前热身1、设函数在处可导，则等于A. B. C. D. 2、某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是A. B

3、. C. D. 3、下列函数求导数：；其中正确的有A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个4、曲线在点处切线的倾斜角是A. B. C. D. 5、对任意x，有=4x3，f（1）=1，则此函数为A. f（x）=x42 B. f（x）=x4+2 C. f（x）=x3 D. f（x）=x4解析：筛选法.6、已知，则 ， ，曲线点处的切线方程为 .四、典例精析考点一：导数的概念问题1. 若函数f（x）=2x21的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+y），则等于 A.4 B.4xC.4+2x D.4+2x2解析：y=2（1+x）211=2x2+4x，=4+2x.2、设函数可导，则等于A.

4、B. C. D. 3. 如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为A.6 B.18 C.54 D.81解析：s=6t2，s|t=3=54.4、求函数在处的导数.考点二：导数的四则运算及复合函数的导数5. 求下列函数的导数(1)； (2) ； (3) ； (4)； (5); (6) (7)； (8) 6. 求下列各函数的导数； ； ； 考点三：求曲线的切线方程7、若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_.解：y=2x1，y|x=2=5. 又P（2，6+c），=5. c=4.8.曲线在点（0,1）处的切线方程为 。，斜率k3，所以

5、，y13x，即9.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。10. 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B 11.曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 解：,故切线方程为,即 12曲线在点处的切线的斜率为（ ）A B C D解：，所以。13.若曲线在点处的切线方程是，则（A） (B) (C) (D) 解：，在切线上， 14.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）A.1 B.2 C. D.解： 15、曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面

6、积为(A) (B) (C) (D)1解：，故曲线在点（0,2）处的切线方程为，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。16.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 解：，切线方程是，令，令， 三角形的面积是，解得.故选A.17.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,) (B) （C） (D)解：， 即，18. 已知曲线，直线，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标。剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：直线过原点，则k=（x01）. 由点（

7、x0，y0）在曲线C上，则y0=x033x02+2x0，=x023x0+2. 又y=3x26x+2，在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=(x0)=3x026x0+2. x023x0+2=3x026x0+2.整理得2x023x0=0. 解得x0=（x00）. 这时，y0=，k=.因此，直线l的方程为y=x，切点坐标是（，）.五、能力提升1.函数f（x）=（x+1）（x2x+1）的导数是A.x2x+1B.（x+1）（2x1） C.3x2D.3x2+1解：f（x）=x3+1， （x）=3x2.2.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为3x+y+3=0，则A. （x0）>0

8、B. （x0）<0 C. （x0）=0D. （x0）不存在由题知（x0）=3.3.设b,函数的图像可能是 解：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C4. 已知曲线y=x21与y=3x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.解：在x=x0处曲线y=x21的切线斜率为2x0，曲线y=3x3的切线斜率为3x02.2x0·（3x02）=1，x0=.5. 点P在曲线y=x3x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.解：tan=3x21， tan1，+）.当tan0，+）时，0，）； 当tan1，0）时，）.0，），）.6. 若直线y=3x+1是曲

9、线y=x3a的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），对y=x3a求导数是=3x2，3x02=3.x0=±1.（1）当x=1时， P（x0，y0）在y=3x+1上， y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上， 4=13a.a=3.（2）当x=1时， P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3×（1）+1=2，即P（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上， 2=（1）3a.a=1.综上可知，实数a的值为3或1.7. 曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3， x=

10、1时，切线最小斜率为3，此时，y=（1）3+3×（1）2+6（1）10=14.切线方程为y+14=3（x+1），即3xy11=0.8. 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相切，求点P的坐标.解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1x02，而此直线与曲线y=2x21相切，切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2x02=0的判别式=4x022×4×（2x02）=0.解得x0=±，y0=. P点的坐标为（，）或（，）.9. 曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的