定积分练习题

1、一、选择题1. 设连续函数f(x)>0，则当a<b时，定积分f(x)dx的符号()A一定是正的B一定是负的C当0<a<b时是正的，当a<b<0时是负的D以上结论都不对解析：由f(x)dx的几何意义及f(x)>0，可知f(x)dx表示xa，xb，y0与yf(x)围成的曲边梯形的面积f(x)dx>0.答案：A2. 若，则a，b，c的大小关系是()Aa<c<b Ba<b<c Cc<b<a Dc<a<b解析：ax3，bx44，ccosx1cos2，c<a<b.答案：D3. 求曲线yx2与yx所围

2、成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy答案B解析两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故函数yx2与yx所围成图形的面积S(xx2)dx.4. 的值为( )A. 2 B.0 C. D. 【答案】A【解析】5. 由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD【答案】 A【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:二、填空题6. 已知f(x)(2t4)dt，则当x1,

3、3时，f(x)的最小值为_解析：f(x)(2t4)dt(t24t)x24x(x2)24(1x3)，当x2时，f(x)min4.答案：47. 一物体以v(t)t23t8(m/s)的速度运动，在前30 s内的平均速度为_解析：由定积分的物理意义有：s(t3t28t)7890(m)263(m/s)答案：263 m/s三、解答题8.求下列定积分：(1)dx；(2) (3)(1)dx；(4)cos2dx. 解析： (1)dxxdxx2dxdxln x|ln 2ln 2.(2)sin x1.(3)(1)dx(xx)dx49×9×4×92×4245.(4)cos2dx

4、dxx|0sinx|0.9. 已知函数f(x)x3ax2bxc的图象如图：直线y0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)解：由f(0)0得c0，f(x)3x22axb.由f(0)0得b0，f(x)x3ax2x2(xa)，由f(x)dx得a3.f(x)x33x2.10.已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值解析：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得，即.f(x)ax2(2a)又f(x)dxax2(2a)dx2a

5、2，a6，c4.从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1，所以当x0时，f(x)min4；当x±1时，f(x)max2.B卷：5+2+2一、选择题1. 已知f(x)为偶函数且则等于()A2 B4C1 D-1解析：f(x)为偶函数，答案：C2. (改编题)已知，则( )A 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5【答案】C【解析】3. 已知函数yx2与ykx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于()A2 B1C3 D4答案：C解析：由消去y得x2kx0，所以x0或xk，则阴影部分的面积为(kxx2)dx(kx2x3).即k3k3，解得k3.4. 一物体在

6、力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)作的功为()A44 B46C48 D50解析： WF(x)dx10dx(3x4)dx10x答案：B5. 函数满足，其导函数的图象如下图，则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为A B C2 D【答案】B【解析】由导函数的图像可知，函数为二次函数，且对称轴为开口方向向上，设函数因过点（-1,0）与（0,2），则有则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为二、填空题6.（改编题）设若则为 。【答案】1【解析】7. 已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围

7、成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_答案1解析f (x)3x22axb，f (0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a<0)S阴影(x3ax2)dxa4，a1.三解答题8.（改编题）画出曲线与直线及所围成的封闭图形，并且其面积.解析:如图所示，封闭图形的区域为ABC. 由与联立可得C(2,1),由与联立可得B(4,),由与联立可得A(4,3).所求封闭图形ABC的面积：.9. 在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为.(1)求切点A的坐标(2)求过切点A的切线方程解析：设切点A(x0，y0)，由y2x，过点A的切线方程为yy

8、02x0(xx0)，即y2x0xx02.令y0，得x.即C(，0)设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，S曲边AOBx03，SABC|BC|·|AB|(x0)·x02x03.Sx03x03.x01，从而切点A(1,1)，切线方程为y2x1.C卷：2+2+1一、选择题1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A B. C. D. 【答案】D【解析】2. 设函数f(x)xx，其中x表示不超过x的最大整数，如1.22，1

9、.21，11.又函数g(x)，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，则g(x)dx的值是()A B C D答案A解析由题意可得，当0<x<1时，x0，f(x)x，当1x<2时，x1，f(x)x1，所以当x(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m1，n4，则g(x)dxdx14.二填空题3._【答案】【解析】等于圆在第一象限的面积，则.4如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，则点P的坐标为_解析：设直线OP的方程为ykx，P点的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即，解得kx2x32k，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为.答案：三解答题5.如图所示，在区间0,1上给定曲线yx2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1S2最小解析由题意得S1t