学而不思则罔

1、学而不思则罔浅议高考数学二轮复习中的“研究性”复习法长兴金陵高级中学周健313100摘要：围绕高考复习中常见问题，提出“研究性”复习的方法，从四个层面进行高三复习的剖析，旨在提高学生在第二轮复习中的复习效果，增加课堂45钟的效益；同时对新形势下的高三教学，提出了自己的观点。关键词：考纲教材反思学生思维在近几年的高考命题中，注重宽角度，多视点地考查理性思维，突出“以能力立意命题”。数学思维能力是数学能力的核心，而理性思维是一种有明确思维方向、有充分思维依据、有数学思想指导，和介入的思维。如何提高学生的数学能力，尤其在第一轮复习已经结束的情况下，要对学生的解题思想和解题能力进一步的提高，一直是困扰

2、我们教学的一个老大难问题。每次考前的总复习，不是“一本资料走天下”就是教师“满堂灌”，学生“题海战”，每天都是不停地讲题、做题搞的疲惫不堪，高考成绩与付出不成正比，有很多成绩中上的同学，觉得自己的数学成绩很难再上一个新的层次，往往会感觉到厌倦数学课，针对这种情况，我通过探索、改革、尝试，总结了自己的一套“研究性”高考复习方法，和大家一起共同探讨。1、 研究考纲看要求考试大纲是高考法规性文件，明确的指出了考试的内容和考试的要求，对于要考的知识点及各知识点要考到怎样的程度均有明确的规定，超出考纲的要求复习，难免“吃力不讨好”。为次我仔细的把04和05两年的考纲作了比较，针对考纲的要求来复习，做到有

3、的放矢，不做无用功。并列出了对照表格如下：（1）对知识要求的变化序号2004年的要求2005年的要求1函数增加函数对奇偶性的考查,级别为“掌握”2三垂线 “了解”“掌握”3可导函数的单调性与导数的关系“了解”“理解”4复数的有关概念及几何意义“理解、掌握”“了解”，删去“了解引进复数的必要性”5三角函数“能利用计算器解决三角形问题”删去“能利用计算器解决三角形问题”6立几中“欧拉公式”删去“欧拉公式”（2）考试要求的变化序号考试要求的变化1删“注重考查进入高校继续学习潜能”2“能力要求”中对：“思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新能力”不仅给出定义，而且增加了解释部分。3“命题基本

4、原则”改成“考试要求”，其中对实践能力的考查“坚持贴近生活，背景公平，控制难度”的原则不变，增加“试题设计要切合中学数学教学实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学问题的难度符合考生的水平”4对“创新意识”的考查比2004年的考试说明更具体了，主要体现在“问题情景新；反映数形运动变化的试题；研究型、探究型、开放型的试题”中。5考试内容不变6试卷结构中删去三种题型的占分比例，删去易、中、难分数的比例，删去了“选修内容以容易题和中等题为主”的字样。7“题型示例的题目与2004年的不同，更加注重对新课程中新增内容的考查”考试大纲强调数学命题注重对“数学基础知识”的考查，注重学科的内在联系。高考试题

5、已形成了“重基础、出活题、考能力”的格局。在高考第一轮复习中，我们重视对概念，法则，性质，公式，公理，定理等基础知识的仔细梳理和全面回顾。在第二轮复习中要注重对各知识板块进行纵横联系，寻找其共同点，形成诸如函数、不等式、数列、三角、圆锥曲线、向量等知识版块，从学科整体意义上建构盘根错节的知识网络，从而使学生明确知识的运用情境及其来龙去脉，使学生对基础知识做到深刻理解，熟练掌握和运用。考试大纲指出：数学科考试“注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。”在知识网络的交汇处设计试题，那么那些知识点可以交汇呢？我在第二轮的复习中，首先从整体上把握高中数学知识而不再是一个个知识点独立讲

6、解，对有关知识点进行横向联系与归纳总结，寻找知识的交汇点。例如函数与不等式，几乎可以与所有内容交汇，是历来高考中解答题的热点；数列作为主干知识具有很大的交融性，常与函数、不等式、二项式定理、方程、解析几何等知识综合，是个常用的交汇点；在2004年的高考试题中，数列题与其他知识的综合，使数列问题有了新意。例如：天津卷，北京卷是数列与函数问题的综合，湖南卷，浙江卷，上海卷是点列问题，湖南卷是数列与解析几何的综合，湖北卷，重庆卷是数列与不等式的综合，全国卷（理）是数列与导数的综合等等。除了上面列举的函数，数列的命题新视角之外，解析几何，概率、不等式等都有许多题目也是注意了拓宽题材，选材多样化，注意了

7、知识网络的交汇，注意知识的多元联系。 针对这种情况，我在复习向量时，有意识的选择了了与解析几何、三角函数、函数等知识结合的向量题。例题、（2004年湖北卷）如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。解法一：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 例题、设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，xR.（1）若f(x)=1-且x-，求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x

8、)的图象，求实数m、n的值讲解（1）同上题，遇到高次想将次，依题设可得f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1-，得sin(2x+)=-.-x，-2x+，2x+=-，即x=-.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由（）得 f(x)=2sin2(x+)+1.|m|<，m=-，n=1.通过以上题目的讲解，引导学生发现平面向量作为代数和几何的纽带，具有代数与几何的双重属性，是中学数学知识网络的一个新的交汇点，同时向量方法又以其独特的解题方式给学生提供了一种

9、创新的思维视角，使相应的数学方法、数学工具和数学语言更加丰富，应用形式更加灵活多样。看清考试大纲的要求，找到知识交汇点，进行有针对性的备课，讲课时更加注重学科知识点之间的交叉综合，力求避免第一轮复习中“单元割裂”，第二轮复习中“专题独立”和“只见树木，不见森林”的不良现象。2、 研究课本找变化不少师生在高考总复习时，把课本仍到一边，每天报一本资料“埋头”做题，这是不妥的。首先，课本不仅是内容上的统一，而且是定义、定理、公式等叙述上的规范，无论资料、参考书上如何叙述，怎样使用符号，教材始终是根本依据。其次许多的高考试题，在教材中多有原型，多由教材中的例题、习题变化而得。2004高考湖南卷数学(理

10、)试题 (2)如果双曲线=1上一点P到右焦点的距离等于,那么点P到右准线的距离是 (A) (B) 13 (C)5 (D)就是来源于教材中的题：如果双曲线=1上一点P到右焦点的距离等于8,那么点p到右准线的距离是 (A)10 (B) (C) (D)例题3、（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为 A. B. C. D. 解析：设的坐标为, .又 消去得，故选（）.评注：本题主要考查向量的坐标运算以及解析几何中参数法思想OPBA说明：此题是教材第109页例5的延伸和拓广，该例题为：不共线，用表示，它的结论是此题等价于“不共线，若三点共线，则且”

11、解： 说明：该例题是个重要题型，它的相关结论和变式很多：如当t=时，,此时点P为AB的中点，此式称为ABC的中线公式（向量式）下面给出它的几种变式和应用：变式：不共线，点P在O、A、B所在平面内，且求证：A、B、P三点共线。证明：变式：不共线，点P在直线AB上，求证：存在实数、，使得，且。证明：点P在直线AB上，存在实数，使得，则令，则使得，且。OPBA变式：求证：平面内不共线的三向量，的终点A、B、C共线的充要条件是存在实数、，使得变式：不共线，用 ，表示。解：不共线，说明：由可以推出，所以当时，此时P为AB的定比分点公式。（课本复习题B组第6）已知向量，求证： 是正三角形分析：从条件我们不

12、难发现（1）向量均为单位向量，且任意两个向量的和与另一个向量是相反向量；（2）O是的外心；（3）向量的两两夹角都相等；（4）向量的大小均相等证明思路一： 从数量积入手，求向量的夹角得同理即中任意两个向量的夹角为故是正三角形证明思路二：从消元法入手，求向量的大小OP 故是正三角形证明思路三：从几何意义入手，依托图形来推理如图，以为邻边作平行四边形，则由题意得，故于是，即是正三角形，于是从而（以下同思路一）证明思路四：从坐标法入手，利用平面几何模型设为坐标原点，建立直角坐标系设则故由题意得而的重心G的坐标为即重心G为原点O又，故O为的外心因为的重心与外心重合，故是正三角形评注：由于思维起点不同，学

13、生解题的策略也会有差异，这正是宏观整合知识结构，渗透数学思想方法，优化思维品质的最佳时机，通过相互之间的交流、讨论、比较和总结，能引发思维的“共振”，促进能力的发展和素质的提高变式、引申、拓展1、数量变式：将条件中改为会有什么结论？结论：将条件中改为不影响证题进程，只是正的边长变为2、逆向引申：已知向量， 是正三角形，则3、升维拓展：已知向量，构成凸四边形，则四边形是正方形吗？结论：四边形是矩形，证明过程详见数学之友4、逆向延伸：已知向量，四边形是正方形，则5、拓展推广：已知向量，边形是正多边形，则6、应用令则这与物理学中三相交流电知识“若三相交流电则”相吻合由此可见脱离教材的复习是不可取的，

14、我们应该以教材为根本，重视教材中的基础知识和基本方法。复习中要善于将教材中的题目加已引申，拓宽，变化，做到举一反三、触类旁通、一题多变、一题多解。3、 研究试题重反思数学是门思维科学，考试大纲倡导理性思维，以提高数学素养。在高中数学教学中，我们可以培养学生的空间想像能力、直觉猜想、归纳抽象符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等能力。从以上要求看出，要使学生学好数学，做题当然重要，但决不是多多益善，解题后的“回顾”与“反思”有时比解题更重要。“不思则无，深思则远”说的就是这个道理。有时掌握的东西，你未必理解它，只有真正的理解才能真正掌握。一个优秀的教师应善于引导学生在解题后将学到的东西上升到理

15、性的高度，并引导他们去洞察这类问题的本质和思考解题的思路，才能促及事物的本质。只有深化理性思维，学生的观察才具有洞察力，才能在解题时得心应手，游刃有余。例题4、（2003江苏卷）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ） （A） （B） （C） （D）分析：我们可以将所给抛物线的顶点坐标移至坐标原点（0,0）此时曲线的方程变成了，设点p平移后的位置为，由基本事实，原题所求d，且抛物线过点p的切线斜率不变，于是解：对求导，得yax依题意，即d，选B思考1：由于抛物线的通径长为，可见上题中的p点应为抛物线通径的一个端点，因此给出以下命题：命题1、设抛物线的通径为PQ

16、，则抛物线在P、Q点处的切线斜率分别是1，1。分析：对于，我们无法直接求导，但是由于抛物线的对称性可知，它在P、Q点处的切线斜率互为相反数，故我们只需证明在p（，p）处的切线斜率为1即可，证明：对于求导，得，命题得证。思考2：由于抛物线的离心率为，这促使我们考虑可否将命题推广到圆锥曲线中的椭圆和双曲线。命题、椭圆，在通径的端点处的切线斜率为e和e。证明：只要证明曲线在通径的一个端点处的切线斜率为e即可，对于求导得，命题得证。同理可证双曲线对于命题2的结论也成立。故得出命题3：若P、Q为焦点在X轴上（或平行于轴）上的圆锥曲线的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率为e和e。例题5、（全国卷二8）设

17、抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A，B2，2C1，1D4，4解：基于以上认识，知道过Q点作抛物线的切线斜率为和故选。近几年的高考数学试题，并不回避中学数学的主干知识，但题目有新意，以做到常考常新。命题者如何创新？这是我们应该思考和探索的。一题多解，一题多变是我们教学的好方法。老题目，新包装我们也不怕，只要找准变化，新题目也可以变成老题目。高中阶段学生的数学能力的强弱主要是以解题能力来体现，而解题能力的提高需要严格的解题训练来保证，在复习时应收集选编信息量大、思维空间广阔、综合探究性强的练习题，并且要彻底改变单纯由教师讲题

18、，学生看题的复习方式，立足先练而后解其惑、授其道。力求“以学生为主体，思维为主线”，值得注意的是，复习并不是单纯做题，更注重的是解题后的反思。坚持“注意通解通法，淡化特殊技巧”的原则，充分体现“重结论，更重过程”的现代教学理念。全国高考数学命题组组长任子朝先生曾言“命题专家在命题时，不是刻意在设计一些技巧性强的题上下功夫，在教学和复习时，应把掌握某些问题的常用方法作为复习的重点”。再比如在复习直线和圆锥曲线的位置关系时，它的基本思路是直线方程消：圆锥曲线方程判别式位置关系求根公式交点坐标韦达定理弦长、弦中点复习时引导学生对这一“通性通法”的掌握，要比盲目做题要有效的多。高考复习阶段，试题做的不

19、少，我们应该鼓励学生进行积极的反思，解题过程的反思，实际上是解题学习的信息反馈调控阶段，这个阶段也是解题学习的强化过程，通过反思，有利于学生进行深层次的理解。4、 研究学生找对策2004年上海高考试卷中有一道不需要“解”而需要“理解”的填空题：“教材中坐标平面上的直线与圆锥曲线两章内容体现出解析几何的本质是_”，学生认为是怪题，教师从未讲过，命题者提供的答案是：用代数的方法研究圆形的几何性质，上海具有引领性，这一点应引起我们重视。对此，我们可以发现，不同的学生，理解能力各有不同，针对不同层次的学生我们应该实施不同的教学方法。1、 分层实施不同教学方法学生是学习和考试的主体，必须紧密联系学生的实

20、际，因材施教，采用分层教学，课堂选例应有一定的梯度，并向学生指出题目的难易程度如“难题”稍难题“中等题”“容易题”等，让学生心中有数。我们将对学生进行认真地解读，分析各阶段中哪些学生属于尖子生，哪些属于优等生，哪些属于中等生，哪些是学困生。对于尖子生的策略：课堂渗透难题，提问应有针对性；做好思想工作，特别是激励上进方面的工作；作业中的“能力提高题”必须完成，根据教学内容适当“开小灶”，自己对答案，教师抽查；在各次测验中及时了解学生存在的问题，进行针对性教学。对于优等生的策略：课堂以稍难题和中等题为主，提问应有针对性；做好思想工作，特别是激励上进，鼓励向优等生学习方面的工作；作业体现大众化，“能

21、力提高题”不要求完成；在各次测验中及时了解学生存在的问题，进行针对性教学。对于学困生的策略：在容易题上下工夫，力求容易题不出差错；多鼓励他们，树立高考上线的目标；作业中的“能力提高题”不要求完成；在各次测验中及时了解学生存在的问题，进行针对性教学2、 加强学生的考法和学法指导考法方面，要认真做好大型统考的测验评价工作，在测验中可以评价学生各阶段的复习效果、调整复习计划。在最后阶段归纳总结思想方法的基础上，要求学生尽多地“看”一些题目，从中汲取并凶证一些好解题思路，必要时也可以“算”一些题目，强化在运算程式较长时的承受力。认真指导学生解决好几个关系“审题与解题的关系”、“会做与得分的关系”、“快与准的关系”、“难题与容易题的关系”。学法方面，首先培养学生重视审题，养成耐心仔细地审题的好习惯。先仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量（如“至少”，“a>0”，自变量的取值范围等等），吃透题目的条件与要求，从题目中挖掘隐含条件，获取尽可能多的信息，启发解题思路，迅速找准解题方向。其次，处理好“会做”与“得分”的关系，将解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的文学语言表达，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自