高等数学练习试题库与答案

1、.?高等数学?练习测试题库及答案一选择题1. 函数 y=1是21xA. 偶函数B.奇函数C单调函数D2. 设 f(sinx )=cosx+1, 那么 f(x) 为2A 2x 2 2B 22x 2C 1x 2D 13以下数列为单调递增数列的有A0.9 ，0.99 ，0.999 ， 0.9999B3，2，5，42345n为奇数1, nCf(n),其中 f(n)=nD. n， 为偶数n1 n4. 数列有界是数列收敛的A充分条件B.必要条件C. 充要条件D既非充分也非必要5以下命题正确的选项是A发散数列必无界B两无界数列之和必无界C两发散数列之和必发散D两收敛数列之和必收敛6 lim sin( x21

2、)x 1x1无界函数 x 22n12nA.1B.0C.2D.1/27设 lim (1k ) xe 6那么 k=()x xA.1B.2C.6D.1/68. 当 x1 时，以下与无穷小 x-1 等价的无穷小是A.x 2 -1B. x3 -1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点 x=x0 处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的A. 必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1 时，y=A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值.11、设函数 f x= 1-x cotx 要使 f x在点： x=0 连续，那么应补充定义f 0为A 、B、 e

3、C、-eD、-e -112、以下有跳跃连续点x=0 的函数为A、 xarctan1/xB、 arctan1/xC、 tan1/xD、 cos1/x13、设 f(x) 在点 x0 连续， g(x) 在点 x0 不连续，那么以下结论成立是A、f(x)+g(x)在点 x0 必不连续B、f(x) ×g(x) 在点 x0 必不连续须有C、复合函数 fg(x)在点 x0 必不连续D、在点 x0 必不连续14、设 f(x)=在区间 (-,+ ) 上连续，且f(x)=0 ，那么 a,b 满足A、a0,b 0B、a0,b 0C、a0,b 0D、a0,b 015、假设函数 f(x) 在点 x0 连续，那

4、么以下复合函数在x0 也连续的有A、B、C、tanf(x)D、 ff(x)16、函数 f(x)=tanx能取最小最大值的区间是以下区间中的A、0, B、 0, C、- /4, /4D、 - /4, /4 17、在闭区间 a ,b上连续是函数 f(x) 有界的A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b)0 是在 a,b 上连续的函 f(x) 数在 a,b 内取零值的A、充分条件B、必要条件.C、充要条件D、无关条件19、以下函数中能在区间 (0,1) 内取零值的有A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x 4-4x+120、曲线 y

5、=x2 在 x=1 处的切线斜率为A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、假设直线 y=x 与对数曲线 y=log a x 相切，那么A、e B、1/e CxD1/e、 e、 e22、曲线 y=lnx平行于直线 x-y+1=0 的法线方程是A、x-y-1=0B、x-y+3e -2 =0 C、 x-y-3e-2 =0D、 -x-y+3e -2 =023、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，那么 a=A、± 1B、± /2 C、± ( /2+1)D、± ( /2-1)24、设 f(x) 为可导的奇函数，且 f(x 0)=a ， 那

6、么 f(-x0)= A、 aB、-aC、|a|D、025、设 y=，那么 y|x=0= A、 -1/2B 、1/2C、-1 D、026、设 y=(cos)sinx，那么 y |x=0= A、-1B、0C、1D、不存在27、设 yf(x)=(1+X) ，y=ff(x),那么 y|x=0= A、 0B 、1/ 2C 、 1D、228、 y=sinx ，那么 y(10)=A、 sinxB 、cosxC、-sinxD、 -cosx29、 y=x x，那么 y(10) =9B99、9A、 -1/x、1/ xC 、8.1/xD-8.1/x30、假设函数 f(x)=xsin|x|，那么A、f(0) 不存在B

7、 、f(0)=0C、f(0) =D 、 f(0)=31、设函数 y=yf(x)在0 ， 内由方程 x+cos(x+y)=0所确定，那么|dy/dx|x=0=.A、 -1B、0C 、/2D、 232、圆 x2cos,y=2sin 上相应于 = /4 处的切线斜率， K=A、-1B、0C、1D、233、函数 f(x) 在点 x0 连续是函数 f(x) 在 x0 可微的A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数 f(x) 在点 x0 可导是函数 f(x) 在 x0 可微的A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数 f(x)=|x|在 x=0 的微分是A、0B、-dxC

8、、dxD 、不存在36、极限 lim (x1 ) 的未定式类型是x 1 1xln xA、0/0 型B、/型 C、 - D、型137、极限 lim( sin x ) x2的未定式类型是xx 0A、00型B、0/0 型0 型C 、1型 D、x2 sin 138、极限limx =x0sin xA、0B、1C、 2D 、不存在39、x x0时， n 阶泰勒公式的余项Rn(x) 是较 xx0 的A、n+1阶无穷小B、 n 阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、假设函数 f(x) 在 0, + 内可导，且 f(x)0，xf(0)0 那么 f(x) 在 0,+ 内有A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C

9、、没有零点D、不能确定有无零点.41、曲线 y=x2-4x+3 的顶点处的曲率为A、2B、 1/2C、1D、 042、抛物线 y=4x-x 2 在它的顶点处的曲率半径为A、0B、 1/2C、1D、 243、假设函数 f(x)在 a,b 内存在原函数，那么原函数有A、一个B、两个C、无穷多个 D、都不对44、假设 f(x)dx=2e x/2 +C=A、2ex/2B、 4 e x/2C、ex/2+CD、 ex/245、 xe- xdx = DA、xe- x -e - x +CB、-xe - x+e- x+CC、xe- x +e - x +CD、-xe - x -e - x+C-ndx46、设 P

10、X为多项式，为自然数，那么 P(x)(x-1)A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、 -10|3x+1|dx= A、5/6B 、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y 2 =1及 (x-1)2/9+y 2/4=1之间所围的平面图形面积等于A 、 B 、2 C 、4 D 、649、曲线 y=x2-2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是A、B、 6 /15C、 16/15D、32/1550、点 1， 0， -1 与 0， -1 ，1之间的距离为A、B、2C、31/2D、 21/251、设曲面方程 P， Q那么用以下平面去截曲面，

11、截线为抛物线的平面是A、 Z=4B、Z=0C、 Z=-2D 、x=252、平面 x=a 截曲面 x2/a 2+y2 /b 2-z 2/c 2=1 所得截线为A、椭圆B、双曲线C 、抛物线D 、两相交直线53、方程 =0 所表示的图形为.A、原点 0，0，0B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程 3x2 +3y2-z 2=0 表示旋转曲面，它的旋转轴是A、X轴B、Y 轴C、Z 轴D、任一条直线55、方程 3x2 -y 2-2z 2=1 所确定的曲面是A、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D、圆锥曲面56 以下命题正确的选项是A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C

12、、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点 x=x0 处有定义是 f(x) 在 x=x0 处连续的A、. 必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58 函数 f(x)=tanx能取最小最大值的区间是以下区间中的A、0, B、 0, C、- /4, /4D、- /4, /4 59 以下函数中能在区间 (0,1) 内取零值的有A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x 2-1D、 f(x)=5x 4 -4x+160 设 y=(cos)sinx，那么 y | x=0=A、-1B、0C、1D、不存在二、填空题1、求极限 lim(x 2+2x+5)/(x 2+

13、1)= x12、求极限 lim3(x -3x+1)/(x-4)+1=x 03、求极限 lim x-2/(x+2)1/2 =x 24、求极限 limx/(x+1)x=x5、求极限 lim1/x= (1-x)x 06、 y=sinx-cosx ，求 y|x=/6 =.7、 =sin +cos/2 ，求 d /d | =/6 = 8、 f(x)=3/5x+x2 /5 ，求 f(0)=9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx相切，那么 a=10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= 11、函数 y=2x3 极小值与极大值分别是12、函数 y=x2-2x-1的最小值为13、函数 y

14、=2x-5x 2 的最大值为14、函数 f(x)=x 2e-x在-1,1上的最小值为3 c= 15、点 0， 1是曲线 y=ax +bx2+c 的拐点，那么有 b=16、 xx 1/2 dx= 17、假设 F(x)=f(x)，那么 dF(x)= 18、假设 f(x)dx=x2e2x+c，那么 f(x)= ()b19、d/dx a arctantdt= 1x t2x2( e1)dt20、函数 f(x)=0, x 0在点 x=0 连续， 那么 a=a, x021、 02(x 2+1/x 4 )dx= 22、 49 x 1/2 (1+x 1/2 )dx= 23、 031/2a dx/(a2+x2)=

15、 24、 01 dx/(4-x2) 1/2 =25、 /3 sin( /3+x)dx= 26、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx=()27、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx= 28、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx= 29、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx= 30、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx= .31、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx= 32、 49x 1/2 (1+x 1/2 )dx= 33、满足不等式 |x-2|1 的 X所在区间为 ()34、设 f(x) = x +1，那么 f +10 =35、函数 Y=|sinx| 的周期

16、是 36、y=sinx,y=cosx直线 x=0,x= /2 所围成的面积是37、 y=3-2x-x 2 与 x 轴所围成图形的面积是38、心形线 r=a(1+cos ) 的全长为39、三点 1，1，2，-1 ， 1， 2，0，0，2构成的三角形为40、一动点与两定点 2，3，1和 4，5，6等距离，那么该点的轨迹方程是41、求过点 3，0，-1 ，且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程是42、求三平面 x+3y+z=1，2x-y-z=0 ， -x+2y+2z=0 的交点是()43、求平行于 xoz 面且经过 2，-5 ，3的平面方程是 44、通过 Z 轴和点 -3 ， 1， -

17、2 的平面方程是45、平行于 X 轴且经过两点 4，0，-2 和 5， 1，7的平面方程是46求极限 lim x/(x+1)x=x47函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= 9x1/2(1+x1/2)dx= 48449y=sinx,y=cosx直线 x=0,x= /2 所围成的面积是 50求过点 3，0，-1 ，且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是三、解答题21、设 Y=2X-5X，问 X 等于多少时 Y 最大？并求出其最大值。2、求函数 y=x2 -54/x.(x0的最小值。3、求抛物线 y=x2-4x+3 在其顶点处的曲率半径。4、相对数函数 y= x 上哪一点处的

18、曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。.5、求 y=x2 与直线 y=x 及 y=2x 所围图形的面积。6、求 y=ex， y=e-x 与直线 x=1 所围图形的面积。7、求过 1，1，-1 ，-2 ， -2 ，2和 1，-1 ， 2三点的平面方程。8、求过点 4， -1 ，3且平行于直线 (x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。9、求点 -1 ，2，0在平面 x+2y-z+1=0 上的投影。10、求曲线 y=sinx ，y=cosx 直线 x=0，x= /2 所围图形的面积。11、求曲线 y=3-2x-x 2 与 x 轴所围图形的面积。12、求曲线 y2=4(x-1) 与 y2=4(2-

19、x) 所围图形的面积。13、求抛物线y=-x 2 +4x-3 及其在点 0，3和 3， 0得的切线所围成的图形的面积。 9/414、求对数螺线 r=e a及射线 =- ， =所围成的图形的面积。15、求位于曲线y=ex 下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积。16、求由抛物线 y2 =4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。17、求曲线 y=x2 与 x=y2 绕 y 轴旋转所产生旋转体的体积。18、求曲线 y=achx/a ， x=0，y=0，绕 x 轴所产生旋转体的体积。19、求曲线 x2+(y-5) 2=16 绕 x 轴所产生旋转体的体积。20、求 x2 +y

20、2=a2 ，绕 x=-b ，旋转所成旋转体的体积。21、求椭圆 x2/4+y 2/6=1 绕轴旋转所得旋转体的体积。22、摆线 x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱， y=0 所围图形绕 y=2a(a 0) 旋转所得旋转体体积。23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。24、计算曲线 y=x/3(3-x)上相应于 1 x 3 的一段弧的长度。25、计算半立方抛物线y2 =2/3(x-1)3 被抛物线 y2=x/3 截得的一段弧的长度。26、计算抛物线 y2 =2px 从顶点到这典线上的一点Mx,y 的弧长。a27、求对数螺线 r=e自 =0 到 = 的一段弧长。28、求曲线 r =

21、1 自=3/4 至 4/3 的一段弧长。29、求心形线 r=a(1+cos ) 的全长。30、求点 M4， -3 ，5与原点的距离。.31、在 yoz 平面上，求与三点A3，1，2，B4，-2 ，-2 和 C 0，5，1等距离的点。32、设 U=a-b+2c，V=-a+3b-c ，试用 a,b,c表示 2U-3V。33、一动点与两定点 2，3，1和 4，5，6等距离。求这动点的轨迹方程。34、将 xoz 坐标面上的抛物线z2=5x 绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。35、将 xoy 坐标面上的圆 x2+y2=9 绕 Z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。22的旋转曲面的方程。37、求球面

22、 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 xoy 面上的投影方程。38、求球体 x2+(y-1) 2+(z-2) 2 9 在 xy 平面上的投影方程。39、求过点 3，0，-1 ，且与平面 3x-7x+5z-12=0 平行的平面方程。40、求过点 M02，9，-6 且与连接坐标原点及点M0 的线段 OM0垂直的平面方程。41、求过 1，1，1，-2 ， -2 ，2和 1，-1 ， 2三点的平面方程。42、一平面过点 1，0，-1 且平行于向量 a=2,1,1和 b=1,-1,0，试求这平面方程。43、求平面 2x-y+2z-8=0 及 x+y+z-10=0 夹角弦。44、求过点 4

23、，-1 ， 3且平行于直线 (x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。45、求过两点 M3，-2 ，1和 M -1 ，0，2的直线方程。46、求过点 0，2，4且与两平面 x+2z=1 和 y-3z=z 平行的直线方程。47、求过点 3，1，-2 且通过直线 (x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。48、求点 -1 ， 2，0在平面 x+2y-z+1=0 上的投影。49、求点 P3， -1 ，2到直线 x+2y-z+1=0 的距离。50、求直线 2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面 4x-y+z=1 上的投影直线的方程。51求抛物线 y=x2-4x+3 在其顶点处的曲率半

24、径。52求 y=ex，y=e-x 与直线 x=1 所围图形的面积。53求曲线 y2=4(x-1) 与 y2=4(2-x) 所围图形的面积54求曲线 y=x2 与 x=y2 绕 y 轴旋转所产生旋转体的体积。四、证明题181证明不等式： 21 x 4 dx13.2证明不等式121dx2, (n 2)01x n63设 f ( x) ，g(x)区间a, a (a0) 上连续， g(x)为偶函数，且f ( x) 满足条件f ( x) f ( x)A( A为常数 )。证明：aag( x)dxf (x) g( x)dxAa04设 n 为正整数，证明nx sinn1nxdx2 cosxdxn2 cos020

25、a0), 那么曲线5 设 (t) 是 正 值 连续 函数 ， f ( x)x t (t) dt , a x a(aay f (x) 在a,a 上是凹的。1dx1dxx6. 证明：x21 x2x 117设 f ( x) 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，那么a Tf ( x)dxTaf (x)dx0xux8假设 f (x) 是连续函数，那么0f (t )dt du(x u) f (u)du009设 f (x) ， g(x) 在 a, b 上连续，证明至少存在一个(a,b) 使得bf ( ) g( x)dx g ( ) f ( x)dxab2b2 ( x)dx10设 f

26、( x) 在 a,b 上连续，证明：f ( x)dx(b a) faa11设 f ( x) 在 a,b 上可导，且 f ( x)M ， f (a)0 证明：bM (ba) 2f ( x)dxa2?高等数学?练习测试题库参考答案.一选择题1 10ABABDCCDAA11 20ABABBCAADC21 30DCDAABCCCA31 40BABDDCCAAD41 50ABCDDCACCA51 55DDCCA56-60DACDC二填空题1 22 3/43 04 e-15 e-16 (3 1/2 +1)/272 1+428 9/259-1或1-2210 211 -1 ，012 -213 1/514 01

27、5 0， 116. C 2 x 3/2 /517. F(x) C18. 2xe 2 x (1+x)19. 020. 021. 21/822. 271/623. /3a24. /625. 026. 2(3 1/2 -1)27. /228. 2/3.29. 4/330. 2 1/231. 032. 3 /233. (1,3)34. 1435.36. 7/637. 32/338. 8a39. 等腰直角40. 4x+4y+10z-63=041. 3x-7y+5z-4=042. (1,-1,3)43. y+5=044. x+3y=045. 9x-2y-2=046. e -147. 248. 2 1/24

28、9. 7/650. 3x-7y+5z-4=0三解答题1. 当 X=1/5 时，有最大值 1/52. X=-3 时，函数有最小值 273. R=1/24.在点 (2 ,- ln 2 ) 处曲率半径有最小值 3×31/2 /2225. 7/66. e+1/e-27. x-3y-2z=08. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/59. -5/3 ，2/3 ， 2/3 10. 2(2 1/2 -1)11. 32/312. 4×21/2 /313. 9/4214. a(a 2-e2)4.15. e/216. 8a2/317. 3 /10218.a2aa (e2 e 2 )4

29、219. 160220. 2 2 a 2b16621.322. 7 2 a 323. 1+1/2 3/224. 2 3 -4/3385225.21926.yp 2y 2yp 2y 22 pp lnp227.1a 2eaa28. ln3/2+5/1229.8a30.5×21/231.0，1，-2 32.5a-11b+7c33.4x+4y+10z-63=034.y2 +z2=5x35.x+y2+z2=936.x 轴： 4x 2-9(y2+z2)=36y轴： 4(x 2+z2)-9y 2=3637. x2 +y2(1-x) 2=9 z=038. x 2+y2+(1-x) 2 9 z=039

30、. 3x-7y+5z-4=040. 2x+9y-6z-121=041. x-3y-2z=042. x+y-3z-4=043.13 3.44.x4 = y1 = z321545.x3 = y2 = z142146.x= y2 = z423147. 8x-9y-22z-59=048. (-5/3,2/3,2/3)3249.250.17 x 31y37z11704x yz1051.R=1/252.e+1/e-253.4 ×21/2 /354.3 /10四证明题1证明不等式： 21x 4 dx8113证明：令 f (x)1x 4 , x1,1那么 f ( x)4x32x 3x 4，211x

31、4令 f ( x) 0,得 x=0f(-1)=f(1)=2 ,f(0)=1那么 1f ( x)2上式两边对 x在1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x) 进展分析，显然有 f(x)1x412x2x4(1 x2 ) 21 x2 , 于是111 x4 dx1x 2 )dx, 故dx1(1111x4 dx821132证明不等式121dx2, (n 2)01 x n 6.证明：显然当 x0, 1时，n>2有21111dx1dx1122arcsinx 21 xn1 x2201 xn01 x26011dx即，2, (n2)201 x n63 设 f ( x) ，g(x)区间a, a (

32、a0) 上连续， g(x) 为偶函数，且f ( x) 满足条件f ( x)f ( x)af (x) g( x)dxag( x)dxA( A为常数 )。证明：Aa0a0a证明：f ( x) g( x)dxf (x) g( x)dxf ( x) g(x)dxaa000af ( x) g( x)dxf ( x)g( x)dx令 x uf ( u)g ( u)duaa0aaaaaaf (x) g( x)dxf ( x) g(x)dxf ( x) g( x)dxf ( x) f ( x) g( x)dx A g (x)dx00004设 n 为正整数，证明 2nx sinnxdx12nxdxcos2ncos00证明：令 t=2x, 有2 cosn xsin n xdx12 (sin 2x) n d 2x1sin n tdt02n 102n 1012 sin n tdtsin n tdt,2n 102sin ntdttu0u)du2