换元积分法与分部积分法

1、§8.2 换元积分法与分部积分法教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法教学过程：一、第一类换元法 凑微分法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为令则上述右端积分然后再代回原来的积分变量，就求得原不定积分更一般的，若函数是函数的一个原函数，是可微函数，并且复合运算有意义，根据复合函数求导法则&#

2、160;    及不定积分的定义，有             由于           从而                      &#

3、160;     （1）综上所述，可得如下结论定理8.4：（第一换元积分法）设是连续函数，是的一个原函数。又若连续可微，并且复合运算有意义，则                （2）第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式，可通过变量代换把被积表达式等同于，若不定积分    容易求得，那么再将代入，便求出原不定积分由于第一换元积分法的基本手段

4、就是将被积表达式变为的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积，其中一个因子与凑成某一函数的微分，而另一因子是的函数，且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。凑微分法1：例、利用，求下列积分，令有再将代入，有令，有再将代入，有令再将代入，有如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了。凑微分法2、. 特别地,有和 .例、利用，求下列积分解：（4）例、若被积函数利用，有如下公式求下列积分以上例都是直接利用

5、“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。例、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分凑微分法3：例、对于与形式的积分，当是偶数时，可利用三角恒等式来降低三角函数的幂，当是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。例、对于形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式例、根据例、凑微分法4：.例9、凑微分法5 ：例10、凑微分法6：.例11、.其他凑法举例:例12、.例13、例14.例15、. 例16、. 例17、例18、.以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当

6、的变形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。习题：P188189 1（1）(24)；二、第二类换元法从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即 = =在式（）中，如果容易求得，并且，则式（2）右端的不定积分。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。第二换元积分法可以确切的叙述如下。定理8.5（第二换元积分法）:设是连续函数，是连续可微函数，且定号，复合运算有意义。设是的一个原函数，即  则    =        

7、60;   （3）其中。证明：有定理假设定号，故函数存在反函数，又           于是=可见是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立。第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换，从而，于是若上式右端的不定积分                    （

8、4）容易求出，那么再代回原来的变量，便求出原不定积分由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换，从而使式（4）的不定积分容易求出。那么如何选择变换呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积函数中有根式，一般选择适当的变换来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积分容易求出。常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.以下我们着重介绍三角代换和无理代换.1、三角代换（1）正弦代换：正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则例19、计算解：令，且从而 =  &#

9、160;    =由图2.1知  所以=（2）正割代换：正割代换简称为“割换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式令有变量还愿时, 常用辅助三角形法.例20、计算  解“令存在反函数。这里仅讨论的情况，同法可讨论的情况。由于0<t<，从而   由图2.2知，所以这里（3）正切代换：正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式即令. 此时有变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例21、计算（）解：令则存在反函数。且，从而=由图2.3知&

10、#160;  sect=     所以=这里。总结例2.192.21，有如下规律：（1）若被积函数含有，一般令或（2）若被积函数含有，一般令（3）若被积函数含有，一般令2、无理代换若被积函数是的有理式时, 设为的最小公倍数,作代换, 有. 可化被积函数为 的有理函数.例22、计算解：为了去掉被积函数的根式，令，即作变量代换则，从而=           =例23、.若被积函数中只有一种根式或可试作代换或. 从中解出来.例24、.本题还可用割换计算

11、, 但较繁.3、双曲代换利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: （参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.）例25、.本题可用切换计算,但归结为积分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例26、 (可用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).解：.例27、. (曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 4、倒代换当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换例28、.5、万能代换万能代换常用于三角函数有理式的积分(参1P261). 令，就有， ，例29、.解法一： ( 用万能代换 ) .解法二：(

12、 用初等化简 ) .解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )例30、解：=.代换法是一种很灵活的方法.习题：1P189 1(25)(27)(28)(30)三、分部积分法设与均为的连续可微函数。于是，由函数乘积的求导公式，有              或            再由不定积分的定义及线性性质，有    

13、60;              即                              （5）或       &

14、#160;                         （6）  公式（5）或公式（6）称为不定积分的分部积分公式。一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分转变成容易求的不定积分，起到化繁为简的作用。对于给定的不定积分作分部积分运算，通常要把被积函数分解为两个因子的乘积，这会有多种选择，对

15、两个因子中哪一个选作也会有多种选择。选择不同，效果不一样的。例如，在积分中，若选择，则                并没有达到简化积分计算的目的。若选择，则          由此可见，与的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部积分技巧。一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数与指数函数或三角函数的乘积时，应选择；若被积

16、函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，应选择。1、 幂X型函数的积分分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数.例31、计算下列不定积分（1）                 （2） 

17、                                   （3）                （4）

18、60;                                     （5）             

19、0;                                                   &#

20、160;            2、建立所求积分的方程求积分分部积分追求的另一个目标是:对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.例32、例33、求 和解： 解得 例34、解：= （参阅例41）解得 例35、=，解得 . 例36、 = =,解得 .分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分。例37、计算下列不定积分（1）。设，则  

21、0;                       再由例21，有=故原积分       这里（2）计算和解：= =移项，整理，有         =同理可得     =在含有自然数的不定积分

22、中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式。例38、N）解：                  =即           这就是递推公式。例如时有=       （N，)解：设 ，则=从而                               （7）特别当时，有