微分中值定理的证明探讨及其推广

1、毕 业 论 文（2010届）题 目 微分中值定理的证明探讨及推广学 院 数学计算机学院 专 业 数学教育 年 级 2006级 学生学号学生姓名 何 慧 君 指导教师 丁 生 虎 2010年5月7日微分中值定理的证明探讨及其推广摘 要:数学分析教材中对微分中值定理的证明，一般是采用引入辅助函数,再利用罗尔定理的结论来证明的文章着重探讨柯西中值定理、拉格朗日中值定理的一种新证法,并给出了定理的推广形式关键词:中值定理；证明；推广中图分类号：O172Proof and Extension on Differential Mean Value Theorem Abstract：The proof of

2、 the differentialmean value theorem in mathematical analysis teaching materials generally is used to introduce auxiliary functions, and then using the conclusions of Rolles theorem to proveNew proof is considered on the Cauchymean value theorem and Lagrange mean value theoremAnd meanwhile, the exten

3、sion on differential mean value theorem has been givenKey words: mean value theorem; proof; extension目录1 引言12 微分中值定理13 微分中值定理证明的新方法231 洛尔定理的证明232 拉格朗日定理的证明333 柯西定理的证明54微分中值定理的探讨及其推广841 对的探究842 微分中值定理的推广943 关于柯西中值定理的一种推广10致谢13参考文献14微分中值定理的证明探讨及其推广数学计算机学院数学教育专业2010届 何慧君1 引言微分中值定理是微积分学中的重要定理,微积分的许多命题和不

4、等式证明都要以它为依据,特别是在证明有关中值问题时,显示了其不可替代的重要作用, 在微分中值定理中, 柯西微分中值定理是最一般的情况,而拉格朗日和罗尔中值定理都是它的特例证明微分中值定理的最一般的方法是通过构造辅助函数来证明的，但不止这一种方法，本文力求给出较新的方法来证明2 微分中值定理罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学基本定理 定理21 （罗尔中值定理）设函数满足条件1 （）在闭区间上连续；（）在开区间内可导； （）；则在内至少存在一点，使得 定理22 (拉格朗日中值定理) 设函数满足条件 （）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；则在内至少存在一点,使得 或 定理23 (柯西中值

5、定理) 若函数与在闭区间上连续,在开区内可导,并且,则在内至少存在一点,使得3 微分中值定理证明的新方法31 洛尔定理的证明引理311（闭区间套定理） 设闭区间列具有性质2（）；（）则存在唯一一个点属于所有的闭区间，证明记，不妨设（的情况证明类似）从中选出一个记作，使得 （当这3个函数值有2个或3个相同时，选取，以的排列次序，左边的优先当选）并令，从中又选出一个记作，使，并令，如果不断继续下去,得到一个闭区间套 （1）并满足，（2）由闭区间套定理知存在，使，（3）根据的连续性（4）事实上,若有，故，若，由区间的作法，知，由（1）式， （5）令，由（5）式得（）此证明是构造性的，即不仅证明了的存

6、在性,而且给出了找的方法32 拉格朗日定理的证明（1） 首先分析推理：欲证 ，成立即证成立，只需证成立 ，如果设则,只需证明，成立（2）的几何意义：如图1D图 1在数值上为矩形的面积，在数值上为矩形的面积，则在数值上，恰好是矩形与矩形的面积之差（3） 证明 作辅助函数 显然，在上连续，在内可导，因为所以因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得成立，即 定理得证33 柯西定理的证明（用拉格朗日定理证明柯西定理） 拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线上，除端点外处处有不垂直与轴的切线，那么在曲线上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于连接曲线两端点的弦如果曲线的方程以参数方程给出，那么

7、，弦的斜率为由参数式函数的导数公式知，曲线在点处的切线的斜率为假定与点对应的参数为，于是曲线在点处的切线平行于弦，表示为这一事实将在下面证明我们可以看到，柯西中值定理与拉格郎日中值定理有着密切的联系如果柯西定理中的（相应地，），那么柯西定理就成了拉格郎日定理我们知道，证明拉格郎日定理的关键是引入辅助函数由此想到，是否可以将上面辅助函数中的改成，相应地把与分别换成与以此作为证明柯西定理的辅助函数这一想法在下面的证明中得到了证实证明 首先证明，即由于满足拉格朗日定理的条件，又所以，由拉格朗日定理的结论，即可得，由于, 所以下面证明（6）成立为此，要引入辅助函数，如何引入辅助函数，过程如下：关于柯西

8、中值定理证明中辅助函数的引入，我们设为,( )曲线满足柯西中值定理的条件且，这样，过、的直线的斜率为现任取,得平面上一点，其中，过做直线的平行线（6）（7）其中为参数仍然过、两点做轴的平行线，与这条直线交于、两点，得平行四边行，显然，这说明曲线与直线在和时的纵坐标之差相等由（6）式得代入（7）式得所以由此两式可看出，如果做辅助函数则，就是到此我们也可以知道,函数满足罗尔定理的三个条件特别地，若取则辅助函数为若取，则辅助函数为将换为，换为，换为，则有当直线过原点时，辅助函数有较为简单的形式故可设辅助函数为由定理的假设容易验证在上连续，在内可导，又 所以，满足罗尔定理条件由定理的条件知，在内至少从

9、在一点，使成立由于所以，即得由于，由上式即可推得（6）式成立4微分中值定理的探讨及其推广41 对的探究在定理22的证法1中，从几何上看就是曲线上的点的纵坐标与直线上相应点的纵坐标之差，是一条新曲线则表明在点的切线平行于轴,则曲线在点的切线平行由此可见，对平面上过任意一点与平行的任意直线为 （8） 用曲线上的点的纵坐标与（8）上相应点的纵坐标之差，作一个新函数则满足罗尔定理的条件（）、（）、（），从而有使从而也就给出了拉格朗日定理的另一证明了上述讨论启发我们对任意函数，若它们在上连续，在内可导，则函数（9）在上连续，在内可导，且，要使，当且仅当（不妨设） （10）且存在，使若令，就会得到柯西中值

10、定理观察（9）与（10），只要与的商满足（10），就会有中值定理出现取,可验证满足（10）此时（11）分析体会函数（11），则会得到下面微分中值定理的一个推广42 微分中值定理的推广定理421 设（）函数）在闭区间上连续；（）函数在开区间内可导；（）,则在内至少存在一点，使得（12）证明 根据题意，设显然，在上连续，在内可导，并且即所以由罗尔中值定理知在内至少存在一点使证毕当（12）式中时，则可得柯西中值定理当（12）式中且时，则可得拉格朗日中值定理43 关于柯西中值定理的一种推广微分中值定理是微积分学中的重要定理，其中柯西中值定理的应用尤为广泛，下面将涉及两个光滑函数的柯西微分中值定理推广到

11、了个光滑函数的情形，得到了类似的微分中值公式(1)问题提出微分中值定理是微积分学中的重要定理,微积分的许多命题和不等式证明都要以它为依据,特别是在证明有关中值问题时，显示了其不可替代的重要作用，在微分中值定理中，柯西微分中值定理是最一般的情况，而拉格朗日和罗尔中值定理都是它的特例现有文献中对柯西中值定理的推广都是从放宽函数或区间的条件入手进行推广的4下文将从另一个角度，在不改变函数的区间条件的情况下，将柯西微分中值定理推广到涉及n个光滑函数的情况，得到推广的柯西微分中值公式(2) 主要结论数学分析教科书【5】中对柯西中值定理的表述是：设，是定义在区间上的两个函数，且满足（）在闭区间上连续；（）

12、 在开区间内可导；（）对，则至少存在一点，使得我们将上面的柯西微分中值公式变形（要求，可得的形式，因为上面的公式具有对称性，所以我们可以将定理中的函数个数推广到更多函数的情形为此，我们先将柯西微分中值定理推广到三个函数的情形定理431设是同时定义在区间上的三个函数，而是三个实数，且，若满足（） 在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）则至少存在一点，使得证明 设显然，而故有由已知条件知，也在上连续，在内可导，且由罗尔中值定理知,使，即有再由定理条件（），在上式两边同除以，可得于是定理431成立定理432设是定义在区间上的个函数，6而是个实数,且 若，满足（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；

13、（）则至少存在一点，使得证明 设由于，而故有由已知条件知，显然也在闭区间上连续，在开区间上可导，且由罗尔中定值理知，存在，使，即有根据定理条件（），上式两边同除以，可得定理432证毕定理432是确定某些对称方程在指定区间上是否存在根的一个有效方法，它对于多项式根的近似计算无疑具有理论及实践的指导意义致谢作为一篇本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的在这里要感谢我的导师丁生虎老师丁老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从论文的确定和修改，中期检查，后期详细写作等整个过程中都给予了我悉心的指导我的论文较复杂烦琐，但是丁老师仍然细心地纠正我的错误除了敬佩老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作在此，对他表示衷心地感谢参考文献1华东师范大学数学系数学分析(上册)M北京