抛物线上的张角问题

1、1我们说，在平面上，已知两个定点A、B，点P为平面上一点，从点P处观测A、B两点所成的角叫张角2若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点，连接AC，BC，我们称ACB为线段AB的张角AB叫做张角ACB所对的张边一、 问题的提出：1问题的提出：在平面直角坐标系中，已知A、B两定点，求具有某种属性的点P(如P在某函数图象上，又或点P的坐标具有某种关系)，使APB等于已知角a2问题解决的方法与步骤：下面以点P在某函数yf(x)的图象上为例来说明特别的，当AB与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决(1)以ABx轴为例来说明在射线AB上取点D，使，则ADPAPB则APDABP ，则设P(m

2、，f(m)，所以C(m，) 所以解方程可求出m的值，P点可求(2)若点线段AB与x轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角如图：过点P作lx轴，再分别由A，B向l引垂线，垂足为C，D，在DC延长线上取点E，使， 在CD延长线上取点F，使，则AEPBFPAPB可证AEPPFB 则 所以设P(m，f(m)，则PE，PF，与AE、BF均可用含m的代数式表示，则方程可解，点P的坐标可解3对问题的解决提出质疑：以上问题可以过点P作x轴或y轴的平行线l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设P(m，f(m)，所以C(m，)，所以，解方程可求出m的值，P点可

3、求但当yf(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程!4抛物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知A、B为抛物线yf(x)上的两定点点P在yf(x)的图象上，若APB等于已知角a，求点P的坐标显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题二、 问题准备1 解直角三角形的张角对张边的问题我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角)三角形即可解，但是有些条件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这个角所

4、对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对张边问题”如图，在ABC中，BACa，ADBC，垂足为D，设BDa，CDb，求高AD如图，在锐角ABC中，ADBC，垂足为D，BAC45°，若BD3，CD2求AD的长思考一根据图形变换，转换特殊模型解法1：把ABD沿AB翻折得到ABE，把ACD沿AC翻折得到ACF ABEABD；ACFACDAEADAF，BEBD3，CFCD2EF90°，BAEBAD，CAFCAD，EAF2BAC90°，延长EB，FC相交于G，则四边形AEGF为正方形 设ADx，则BGx3，CGx2在RtBCG中，

5、由勾股定理可得：，解得：x6或x1(舍去)， AD6解法2：以AD为边作正方形ADEF，过点A作AGAB，交EF于G，AGFABD，BDGF2，AGABBAC45°，GACBAC，又ACACACGACB， CGBC5设ADx，则EGx3，CEx2，在RtCEG中，由勾股定理得：，解得：x6或x1(舍去)， AD6解法3：在射线DB上取点E，使DEAD，在射线DC上取点F，使DFAD则AEAF，AEFAFE45°，EAF90°，把AEB绕点A旋转，使AE于AF重合，得到AFG，AFGAEB，FGEB，AGAB，AFGE45°，GAFBAE，BACEAF90

6、°，又BAC45°，GACBAC， ACGACB，CGBC5，设ADx，则FGx3，CFx2在RtCED中，由勾股定理得：，解得：x6或x1(舍去)， AD6思考二：构造一线三等角(M型)解法5：在BC的延长线上取点E，使CEAD，过点E作EFCE，使EFCD，连接AF，CEFADC，ACFC，CAF45°，BAC45°，BAF90°，连接BF，由勾股定理可得：，设ADx，则BEx5，解得：x6或x1(舍去)， AD6解法7：过点B作BEAB，交AC的延长线于E，过点E作EFBC，垂足为F，由上题可证EBFBADEFBD3，设ADx， ，解得：

7、x6或x1(舍去)，AD6解法8：过点A作BC的平行线，由B，C向该平行线引垂线，垂足为E，F则BEADCF，AEBD3，AFCD2在AE的延长线上截取EGBE，在AF的延长线上截取FNCFBGCN，GN45°，GBACN， AGBCNA，, 设ADx，则BGCN，AGx3，ANx2，(x3)(x2) ，解得：x6或x1(舍去)， AD6思考三：把AD看作是绕A旋转的直线，构造旋转相似解法12在射线DC上截取DEAD，连接AE，延长AD到F，使DFBD3BF，FE45°，又BAFCAE，BAFCAE，AF·CEBF·AE，设ADx，则AE，AFx3，CE

8、x2，解得：x6或x1(舍去)， AD6思考四：利用三角形外接圆：解法13：作ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC过点O作OEBC，垂足为EOAOBOC，BOC2BAC90°，过点O作OFAD，垂足为F，,由勾股定理可得：，AD6思考六：构造斜射影相似解法15在射线DC上截取DEAD，连接AEE45°BAC，又ABECBA，ABECBA， 设ADx，则BEx3，解得：x6或x1(舍去)， AD6二、 抛物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线yf(x)上的两定点，点P在yf(x)的图象上，若APB等于已知角a，求点P的坐标方法与步骤： 第一步；过已知点A作y轴的平行线，与直线BP相交于点C，构造“于涵定理”根据“于涵定理”指引我们可求出的值第二步：解张角三角形，求出PAC的函数值在PAC中，APC已知(APB已知)的值已知，根据斜射影可求出PD、CD、AD的比，进而求出PAC的函数值第三步：利用PAC的函数值求出点的坐标2 二次函数中的“于涵定理”(一) 如何使“于涵定理”合法化第一：当直线AB平行于x轴时，设二次函数为，则P(x，)设A(m，)，利用对称轴可得：B(2hm，)，第二：当直线AB与二次函数的一个交点已知时，设A(m，n)在二次函数为的图象上，过点A的直线交二次函数于另一