微积分基本定理

1、1.4.2微积分基本定理【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.1当xa，b时，若f(x)>0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S_ f(x)dx_.2当xa，b时，若f(x)<0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S_f(x)dx_. 3当xa，b时，若f(x)>g(x)

2、>0时，由直线xa，xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积S_ f(x)g(x)dx_.(如图) 探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可例1计算由曲线y2x，yx2所围图形的面积S.解由得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABDdxx2dx |x3|.小结求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基

3、本定理计算定积分，求出结果跟踪训练1求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积解由得或，所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S(x2)dx(x24)dx(2xx2)|(x34x)|().探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下例2计算由直线yx4，曲线y以及x轴所围图形的面积S.解方法一作出直线yx4，曲线y的草图解

4、方程组得直线yx4与曲线y交点的坐标为(8,4)直线yx4与x轴的交点为(4,0)因此，所求图形的面积为SS1S2dx.方法二把y看成积分变量，则S(y4y2)dy(y24yy3)|.小结两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限跟踪训练2求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解画出图形，如图所示解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以S(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2xx)dx(2xx2)|6×92.探究点三定积分的综合应用例3

5、在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A的切线方程解如图，设切点A(x0，y0)，由y2x，过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx，令y0，得x，即C(，0)，设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC，SABC|BC|·|AB|(x0)·xx.Sxxx.所以x01，从而切点为A(1,1)，切线方程为2xy10.小结本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所

6、围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决跟踪训练3如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx|.又由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，(xx2kx)dx|(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.4由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_解析由图形可得S(x245x)dx(5xx24)dx(x34xx2)|(x2x34x)|4×42×434×44.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(2)确定被积