例谈凸函数的性质及应用

1、例谈凸函数的性质及应用江苏省盐都县龙冈中学 吕成荣（224011）随着新高考模式的确定，高考命题将更加依据课程标准而又不拘泥于课程标准，在知识边缘处命题将会不断出现，在今年高考北京卷（第12题）中就涉及到凸函数理论，现行教材中没有阐明凸函数理论，本文通过具体的例子进行简要的论述。一、凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2 D和实数（0，1），有fx1+（1-）x2f(x1)+（1-）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数。（如图1）2、若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（如图2）。3、线性函数既是凸函数，也是凹函数。 图1 凸函数图2 凹

2、函数h1=fx1+（1-）x2， h2=f(x1)+(1-)f(x2)现行教材中所涉及的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数等都存在凸函数，掌握凸函数理论解题有时很容易，反之茫然。例1：（2002高考北京卷）如图所示，fi（x）（i=1, 2, 3, 4）是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“0，1中任意的x1和x2，任意0，1，fx1+（1-）x2f(x1)+(1-)f(x2)恒成立”的只有( )A f1(x)， f3（x）B f2(x)C f2(x)，f3(x) D f4(x)分析：由于x10，1，x20，1，0，1，设x1=x2 = , =，代入题目所给的不等式，则fx1+

3、x2 f(x1)+ f(x2) ,即 f() f(x1) + f(x2)，当且仅当x1 = x2时等号成立。上式与凸函数的定义、相同，即凹的，而y = ax+b (a0) ，也可看成凸函数或凹函数，故选（A）。例2：（94全国文）已知函数f(x) = logax （a 0且 a1 ,xR+）,若x1， x2R+，判断f(x1) + f(x2)与f()的大小，并加以证明。 分析：由函数f(x) = logax (a 0, a1，xR+)，可知当a 1时，函数f(x)在R+上为单调增函数，对照函数图象知其为凸函数，故有f(x1) + f(x2)f() ， 当且仅当x1 = x2 时取等号。 当0

4、a 1时，函数f(x)在R+上为单调减函数，对照函数图象知其为凹函数，故有f(x1)+ f(x2)f() ，当且仅当x1 = x2 时取等号。 二、凸函数性质定理上述凸函数理论还可以进行推广：（1）如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间内的任意x1 ，x2 ，xn ，有，当且仅当x1 = x2 = = xn 时，等号成立。（2）如果函数f(x)在区间上是凹函数，则对于区间内的任意x1 ，x2 ，xn ，有，当且仅当x1 = x2 = = xn 时，等号成立。（1）、（2）统称为琴生（JLWVJensen丹麦数学家，18591925年）不等式，利用它可以解决许多最值问题且比较方便。例3：

5、（2002成都模拟试题）若函数 y = sinx在区间（0，）上是凸函数，那么在ABC中，sinA + sinB + sinC的最大值为（ ）A B C D 解：由函数y = sinx在（0，）上为凸函数，所以有，即sinA+sinB +sinC，当且仅当A = B = C =时等号成立，故选C。例4、若a1 ，a2 ，an 是一组实数，且a1 + a2 + + an = k（定值），试求：a12 + a22 + + an2 的最小值。解：因为 f(x) =x2 在（-，+）上为凹函数，令 P=f(a1) + f(a2) + +f(an) = a12 + a22 + + an2 ,由性质定理知，所以有f(a1) + f(a2) + +f(an) n=nf，即a12 + a22 + + an2 ，当且仅当a1 = a2 = = an 时等号成立，即a12 + a22 + + an2 的最小值为。凸函数的