一堂计数应用题易错题剖析课

1、一堂计数应用题易错题剖析课江苏省徐州市田家炳中学(原名：睢宁县城北中学）221200 武瑞雪（电话E-mail:wrx.2010）计数应用题，题型多变、条件隐晦、思维抽象，学生在解这类问题时，常因重复考虑而致错，本节课举三例剖析如下：例1 5份不同的奖品分给4个人，每人至少一份，共有多少种分法？错解 可分为两步：第一步：先从5份不同的奖品中任取4份，分配给4个人，有A种分法；第二步：将剩下的那份奖品分给4个人中的某人，有A种分法。由分步计数原理，共有A A种，即480种分法。剖析 上述解法中出现重复计算问题。现将5份不同奖品分别标号为、，4个人依次记为甲、乙、丙、丁，

2、则在上述分法中，“第一步中甲、乙、丙、丁分别得奖品、，第二步中将奖品分给了甲”和“第一步中甲、乙、丙、丁分别得奖品、，第二步中将奖品分给了甲”是同一种分法。因此，上述解法是错误的。正解 因每一种分法都被重复计算一次，故分法数为：。另解 可分为两步：第一步，先从5份不同奖品中任取2份作为一个整体，有种取法；第二步，将上述“整体”和其它3份奖品，共4份，分配给4人，共有分法。由分步计数原理，共有种，即240种分法。变式1 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的放法共有多少种？错解 可分为三步：第一步：先从4个不同的小球中任取3个，有种取法；第二步：将选取的3个小球放入4

3、个盒子中的某3个盒子，有种放法。第三步：将剩下的1个小球放入被选的3个盒子中的某1个盒子，有种放法。由分步计数原理，共有种，即288种放法。剖析 上述解法中出现重复计算问题。现将4个不同小球分别标号为、。则在上述放法中，“第一步选的是、号小球，第二步中将、号小球分别放入1，2，3号盒子，第三步中将号球放入3号盒子”和“第一步选的是、号小球，第二步中将、号小球分别放入1，2，3号盒子，第三步中将号球放入3号盒子”是同一种分法。因此，上述解法是错误的。正解 因每一种分法都被重复计算一次，故分法数为：（）÷2=144。另解 可分为二步：第一步，先从4个不同小球中任取2个作为一个整体，有种取

4、法；第二步，将上述“整体”和其它2个小球，共3个，放入4个盒子中的某3个，共有分法。由分步计数原理，共有种，即144种分法。例2 一个小组有6名学生，其中女生2名，现选派4名学生参加某项活动，至少有一名女生，共有多少种不同选法？错解 可分两步：第一步：先从2名女生中任取1名，有种选法；第二步，从剩下的5名学生中再任取3名，有种选法。由分步计数原理，共有种，即20种选法。剖析 在上述20种选法中，有部分是重复的，现将两名女生分别标号为、，4名男生分别标号为、，则上述分法中，“第一步选号女生，第二步从剩下5名学生中选、号三名学生”与“第一步选号女生，第二步从剩下5名学生中选、号三名学生”是同一种选

5、法，类似被重复的选法共种（两名女生均被选的选法），即6种。正解一（去杂法） -=20-6=14（种）。正解二（去杂法） 从6名学生中任选4名学生，共有种选法，而其中不符合条件的选法（即没有女生的选法）有种，所以，符合条件的选法共-，即14种。正解三（直接法） 分两类：第一类是，只选1名女生，有种选法；第二类是，选2名女生，有种选法。由分类计数原理，共有（+）种，即14种不同选法。变式2 从35名男生，15名女生中选出4人分别担任语、数、外、物四门学科的课代表，其中至少有一名男生和一名女生的不同选派方法的结果给出如下几种：,，其中正确结果的序号是 （注：把你认为正确结果的序号都填上）答案：、例3

6、将6本不同的书均分成三堆，共有多少种不同的分法？错解 分三步：第一步，先从6本不同书中任取2本，作为一堆，有种取法；第二步，从剩下的4本书中任取2本，作为另一堆，有种取法；第三步，最后剩下的2本全取，作为又一堆，有种取法。由分步计数原理，共有分法种，即90种。剖析 上述90种分堆方法，出现重复计算的情况，现把6本不同的书分别标号为、，下表中所给六种（即种）分堆方法是同一种分堆方法。故应共有（）¸种，即15种分堆方法。 分法步骤第一种第二种第三种第四种第五种第六种第一步、第二步、第三步、说明 此题若不是“均分组”，则不会出现重复计算的情况，如：将6本不同的书分成三堆，一堆1本,一堆2本

7、，一堆3本，共有多少种不同的分法？答案 =60（种）此题若是将6本不同的书平均分给甲、乙、丙三个人，则也不会出现重复计算的情况，此时共有，即90种不同的分法。 变式3 有6本不同的书，按下列条件各有多少种分法？（1）分成三组，一组4本，另两组各1本；（2）分给甲、乙、丙三个人，分别得4本、1本、1本；（3）分给甲、乙、丙三个人，一个人得4本，另两个人各得1本。解 （1）其中有两组是均分组，而组与组之间无顺序，故共有分法÷=15（种）（2）将甲、乙、丙三个人当作三个位置，分三步依次取4本、1本、1本放在三个位置，由乘法原理得共有分法=30（种）（3）将第（1）小题中的三组分别当作一个元素，将甲、乙、丙三个人当作位置进行全排，故共有分法（÷）=90（种）。（3）另解 从6本不同的书任取4本当作一个元素，有种取法，然后和其它2本书进行全排，有种排法，由乘法原理得共有分法=90（种）。作业 有5本不同的书要分给甲、乙、丙三位同学，要求每人至少