不定积分凑微分法和换元法（课堂PPT）

1、.1巴马水具有四个显著特征: 7.2 不定积分的计算一是弱碱性离子水。二是还原水。三是小分子团水。四是营养水。.2问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 1、第一换元积分法.3在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( ( )( ) ( )( )fxx dxFxCF uC ( )( )f u duux 由此可得换元法定理由

2、此可得换元法定理.4 ( )( ) xxdgx ( )( ( )g u duGxC 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）（凑微分法）说明说明: 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 ( )( )fxx dx 化为化为( ).g u du 左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理定理7.2.17.2.1.5例例1 1 求求35.xdx 111u duuC 已已知知解解35xdx 5)ux(令(令13udu 443333(5).44uCxC .6例例2 2221.(0)dx aax 21arctan1dxxCx 已已知知解解dxxa 2

3、21dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa .7求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx .8例例3 求求2sin.xx dx sincosuduu C 已已知知解解2sin xxdx 2212sin x dx sin12uud 2()ux 1cos2uC 21cos;2xC .9求求.2sin xdx解（一）解（一） xdx2sin1sin2(2 )2xdx sincosuduu C 已已知知;2cos21Cx 解（二）解（二） xdx2sin xdxxc

4、ossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 212uduuC 已已知知解（三）解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 212uduuC 已已知知.10例例4 4 求求.231dxx 解解(32 )(32 )2,dxx dxdx dxx 23111(31132322 )(32 )22x dxdxxx 112duu Cu ln21.)23ln(21Cx ()axbfdx 1( )()uaxbf u dua 其其中中一般地一般地.11书中例书中例4 4 求求2.1dxx l1n.uCduu 解解211111,1(1)(1)211xxxx

5、x21dxx 112111dxxx 1(ln1ln1)2xxC11ln.21xCx .12求求.)ln21(1dxxx 解解(12ln )1xdxx 121()lnlnxdx )ln21(ln21121xdx xuln21 112duu Cu ln21.)ln21ln(21Cx .13例例5 5 求求解解5sin.xdx 5sin xdx 4sinsinxxdx 22(sin)(cos )xdx 22(1cos)cosxdx 24( 12coscos) cosxx dx cosx 32cos3x 51cos5x .C 说明说明 当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘或幂

6、时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.14附例附例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx .15例例6 6 求求解解2coscosxdxx 1.cosdxx 1cosdxx 21sin1sindxx 111() sin21 sin1 sindxxx 11sinln21sinxCx 221(1sin )ln2cosxCx ln sectan.xxC .16例例7 7 求求解（一）解（一） dxxs

7、in1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）.17解（二）解（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx.18例例8 8 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 d

8、xxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx .19例例9 9 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx .20解解例例1010 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf .21例例1111 求求.11dxex 解解dxex

9、 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx .22例例1212 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx .23例例1313 求求.12321dxxx 解：原式解：原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx .24例例1414 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(a

10、rcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx .25作业作业.26问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2、第二换元积分法.27定理定理7.2.2 7.2.2 （第二换元积分法）（第二换元积分法）.28证明证明证毕证毕.29例例1515 书中例书中例7求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2s

11、ecsec1 tdtsecln sectanttCtax22ax 22lnxxaCaa 2,2t22lnln .xxaCCCa .30例例16 16 书中例书中例8 求求22.(0)ax dx a 解解sin(),2xatt 令令arcsin,cosxtdxatdta22ax dx 22(1sin)cosatatdt 22cosatdt 2(1cos2 )2at dt 21(sin2 )22attC21sincos22atat atCtax22ax 222arcsin.22axxaxCa .31例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 23

12、4 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx .32例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax .33说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是

13、化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax .34说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax .35 积分中

14、为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解.36例例1919 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxe

15、x ,1ln2 tx.37说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2020 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解.38例例2121 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu .39 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 113

16、13.1131232Cxxxx .40说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2222 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216.41 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx .42基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa .43;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Ca