立体几何考纲解读(题目跟答案)

1、立体几何考纲解读一、 考情纵览立体几何初步考查的基本知识是“点、线、面之间的位置关系”，其中包括：平面及其基本性质（A级要求），直线与平面平行、垂直的判定及性质（B级要求）、两平面平行、垂直的判定及性质（B级要求）和“空间几何体的表面积和体积（A级要求）”；考查的基本技能有：识图、画图、用图、对三棱锥的体积“计算两次”来求点到平面的距离及使用“割补法”来揭示隐含的条件；试题渗透的基本思想方法有：将立体几何的文字语言、符号语言及图形语言相互转换、将三种“平行”相互转化和“三种垂直”相互转化。解决立体几何的作图，计算和证明等问题需要空间想象、推理论证、运算求解能力的支撑，其中的核心能力是空间想象能

2、力，即能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形。现在对近几年立体几何初步的高考题型分析如下热点题型1 考查将符号语言或文字语言转化为直观图形的能力典型考题（1） 2009年江苏高考第12题考情分析 考查将文字语言或符号语言转化为平面直观图形，再进行推理或计算，有时也可以直接判断。属于中档题。变式练习(1) 设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：若则；若则；若，则；若与相交且不垂直，则与不垂直。其中，所有真命题的序号是 【答案】【解析】作出符合条件的图形，由直线与平面平行的判断定理知是真命题；作出符合条件的图形，由平面与平面垂直的性质

3、定理知是真命题；作出符合条件的图形，相交或平行，但垂直不成立，假命题；作出符合条件的图形，不妨令，则在内存在假命题。注意事项 常设计为多选题的形式，要防止错选，多选或少选。 热点题型2 考查推理论证与运算求解的能力典型考题（2） 2010高考的江苏高考第16题考情分析 考查直线与平面、平面与平面的位置关系、考查几何体的体积；考查化归方法、计算两次方法；考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。立体几何初步的解答题一般都放置在第16题的位置，属于容易题。试题的设计形式是“一证一算”或“二证”。变式练习(2) 如图，t中，是的中点，为的中点，的延长线交于，将沿折起，使得平面平面。（1）求证：平

4、面平面；（2）求四棱锥的体积（用a 表示）。【答案】（1）在tABC中，因为，是的中点，所以ABD是正三角形，因为为的中点，所以，因为，所以。由折叠的不变性得：在三棱锥中，又，所以BD平面AEF，又平面，所以平面BCD平面AEF；（2）因为平面平面，所以平面BCD，所以四棱锥的体积。典型考题（3） 2011高考的江苏高考第16题变式练习(3)（2011天津文科）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点。（）证明/平面；（）证明平面。【答案】（）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB/MO。因为平面ACM，平面A

5、CM，所以PB/平面ACM；（）因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。注意事项 使用定理时，列举相关定理的条件要全，例如：证明直线与平面平行时必须（1）证明平面，（2）存在平面，（3）这三个步骤缺一不可，条件是已知的或证明得到的，千万不可跳步或把平面几何的结论错误地类比到空间中，以免不必要的失分，计算题要按照“一作、二证、三算”的步骤进行。热点题型3 在新情景下考查探究的能力典型考题（4） 2011·北京卷文科第17题考情分析 因为江苏高考立体几何初步解答题只考查容易题，所以考查探究性问题的可能性不大，但有意识地解一些探究性问题，有

6、利于提升我们的发现与创新意识。变式练习(4) 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45°.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由。【解析】(1)因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD. (2) 假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等由GCGD，得GCDGDC45°，从而CGD90°，即C

7、GAD.所以GDCD·cos45°1.设AB，则AD4，AGADGD3.在RtABG中，GB>1.这与GBGD矛盾所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。注意事项 探究性问题的结论有三种：探索的结论是“成立”；探索的结论是“不成立”；探索的结论是“满足某一个附加条件A成立”，不满足附加条件A不成立”。热点题型4 考查作图的能力或对已知图形进行割补的能力典型考题（5）2011年江西卷理科第21题考情分析 作图或对已知图形进行割补是考查空间想象的高端能力，虽然在近几年江苏高

8、考未考查，但随着高考命题“以能力立意”这一理念的真正落实，江苏高考考查的概率进一步加大。变式练习(5) 从空间一点出发的四条射线两两所成的角都是，则对的判断正确的是 一定是锐角一定直角一定钝角 锐角、直角、钝角都可以【答案】【解析】如图，在射线OA，OB，OC，OD上分别截取，使，由四条射线两两所成的角都是得：三棱锥是正四面体，是正四面体的中心作出正四面体的外接球（是球心），延长交平面于，连接，则平面，所以，因为，所以，选。注意事项 作图的依据是立体几何初步的基本知识，方法是转化为平面几何的作图问题；“割补”一般是将不规则的图形补成柱、球或割成锥。考题再现1（1）设和为不重合的两个平面，给出下

9、列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）。【解题思路】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。由两个平面平行的判断定理知是真命题；由直线与平面平行的判断定理知是真命题；内有一条直线m垂直于，但不能得到直线m垂直于平面内的两条相交直线，故是假命题；当与内的两条平行直线垂直时，直线与垂直不成立，故充分性不成立，假命题。【答案】2（2）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，P

10、D=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900。（1）求证PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离。【解题思路】（1）证明；（2）对三棱锥的体积计算两次或过A作BC的平行线，再在选取一点作平面PBC的垂线段，计算垂线段的长。【答案】（1）因为PD平面ABCD，所以PDBC，又BCD=900，所以，又因为，所以，所以；（2）（方法一），所以，所以。（方法二）过点A做BC的平行线交CD于E，过E作PC的垂线交PC于H，连PE。可以证明，所以点A到平面PBC的距离等于点E平面PBC的距离。因为，所以，所以，因为，所以。2（3）如图，在四棱锥中，平面平面，分别是的中点，求证（1）直线平面PCD

11、；（2）平面平面。【解题思路】（1）运用三角形的中位线定理证明直线PD即可证明平面PCD；（2）只要证明BF平面PAD。证明如下：【答案】（1）因为分别是的中点，所以，又因为平面PCD，平面PCD，所以直线平面PCD；（2）连接BD。因为，所以三角形ABD是正三角形，又因为F是AD的中点，所以，因为平面平面平面，所以BF平面PAD，因为平面BEF，所以平面平面。3（4）如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点。(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理

12、由。【解题思路】 (1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP；(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF，所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG，所以平行四边形DEFG为矩形；(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC、AB的中点M，N，连接ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG.所以Q为满足条件的点。4(

13、5) (1)如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面1，2，3，4，使得Aii(i1,2,3,4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面1，2，3，4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Aii(i1,2,3,4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积。【解题思路】(1)如图所示，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面2，过三点A3，P3，N作平面3，因为A2P2NP3，A3P3MP2，所以平面2平面3，再过点A1，A4分别

14、作平面1，4与平面2平行，那么四个平面1，2，3，4依次相互平行，由线段A1A4被平行平面1，2，3，4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故1，2，3，4为所求平面；(2如图，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCDA1B1C1D1中(或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体)，E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A1MMN1，则有A1E1，D1E1a，据A1D1×A1E1A1M×D1E1，得a，正四面体A1A2A3A4的体积Va34×a3a3.【答案】.二、备考建议题型1备考建议 只有将符号语言或文字语言转化为标准的直观图形，才可以迅速地推理与判断，否则会由于看不清图形或受到不标准图形的干扰而得到错误的结论。题型2备考建议