解析几何6个大题

1、解析几何1. (2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1) 若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解：(1) 由得圆心C为(3，2)， 圆C的半径为1， 圆C的方程为(x3)2(y2)21.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为ykx3，即kxy30， 1， |3k1|， 2k(4k3)0， k0或k， 所求圆C的切线方程为y3或yx3，即y3或3x4y120.(2) 圆C的圆心在直线l：y2x4上， 设圆心C为

2、(a，2a4)，则圆C的方程为(xa)2y(2a4)21. MA2MO， 设M为(x，y)，则2，整理得x2(y1)24，设为圆D， 点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点， |21|21|.由5a212a80得aR，由5a212a0得0a.综上所述，a的取值范围为.2. (2014·全国卷)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1) 求C的方程；(2) 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解：(1) 设Q(x0，4

3、)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得×，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2) 依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分

4、线段AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.3. (2014·苏北期末)已知ABC的三个顶点A(1，0)、B(1，0)、C(3，2)，其外接圆为圆H.(1) 若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2) 对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解：(1) 线段AB的垂直平分线方程为x0，线段BC的垂直平分线方程为xy30，所以外接圆圆心H

5、(0，3)，半径，圆H的方程为x2(y3)210.(4分)设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x3为所求；(6分)当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y2k(x3)，则3，解得k.综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(8分)(2) 直线BH的方程为3xy30，设P(m，n)(0m1)，N(x，y)，因为点M是线段PN的中点，所以M.又M、N都在半径为r的圆C上，所以即(10分)因为该关于x、y的方程组有解，即以(3，2)为圆心、r为半径的圆与以(6m，4n)为圆心、2r为半径的圆有公共点，所以(2rr)2(36m)2(

6、24n)2(r2r)2.(12分)又3mn30，所以r210m212m109r2对m0，1成立而f(m)10m212m10在0，1上的值域为，故r2且109r2.(15分)又线段BH与圆C无公共点，所以(m3)2(33m2)2>r2对m0，1成立，即r2<.故圆C的半径r的取值范围为.(16分)4. 如图，椭圆C：1的右顶点为A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；(2) 若过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2，

7、求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标证明：(1) 由题意得A(4，0)，B(0，2)，D(0，2)，E(2，0)，P(4，1)，所以直线DE的方程为yx2，直线BP的方程为yx2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为1，所以点在椭圆1上，即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上(2) 直线BR的方程为yk1x2.解方程组得或所以点R的坐标为.因为k1k2，所以直线BS的斜率k2，直线BS的方程为yx2.解方程组得或所以点S的坐标为.(若写成“同理可得点S的坐标为”也可以)所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O.5. 如图，已知椭圆1(a>b&

8、gt;0)的右顶点为A(2，0)，点P在椭圆上(e为椭圆的离心率)(1) 求椭圆的方程；(2) 若点B、C(C在第一象限)都在椭圆上，满足，且·0，求实数的值解：(1) 由条件，知a2，e，将点P代入椭圆方程，得1. b2c24， b21，c23. 椭圆的方程为y21.(2) 设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为ykx，代入椭圆方程y21，即x24y24，得(14k2)x24， xC.故C.又直线AB方程为yk(x2)，代入椭圆方程x24y24，得(14k2)x216k2x16k240. xA2， xB，则B. ·0， ··0. k2. C在第一象限， k>0，k. ，由，得. k， .6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A、B，离心率为，右准线为l：x4.M为椭圆上不同于A、B的一点，直线AM与直线l交于点P.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；(3) 连结PB并延长交椭圆C于点N.若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标解：(1) 由解得所以b23.所以椭圆方程为1.(2) 因为，所以xM1，代入椭圆得yM，即M.所以直线AM的方程为y(x2)，解得P(4，3