贝努利不等式的应用

1、贝努利不等式的应用贝努利不等式是在分析不等式中最常见的不等式，在许多书中的初始阶段就引述了贝努利不等式，但此后就很少见到贝努利不等式的踪影了。这样一来，人们就会问，把贝努利不等式放在最初阶段的显要位置介绍有什么用处。我们发现，虽然贝努里不等式本身是一个很初等的不等式，但它的应用是非常广泛的，许多结果应用贝努里不等式去证明是非常自然和简单的。能对高深的结果给出初等直接证明，是人们智慧所追求的。我们还发现利用贝努利不等式可以给出几何平均算术平均不等式、Young不等式和Young逆不等式的证明，从而沟通了这些重要不等式之间的联系。应用贝努利不等式还使重要极限中的许多结论的证明系统化、自封完备化。这

2、些应用和联系充分说明了贝努利不等式的重要意义和使用价值。用表示正整数集。1 贝努利不等式及其直接运用定理1 (贝努利不等式) 设，实数都大于，并且它们都有着相同的符号，则成立 ； 特别地，当，且，成立 ，（，） 。证明 用数学归纳法。当时，有，即时，结论成立； 设时，成立；当时，利用上一步的假设结果，得，即时，结论成立；由归纳法原理，故对任意，结论成立。定理2设（）都是正实数，且，则成立（1）；（2）。证明 由条件，得 ，；利用贝努里不等式，得， ， 由，得出，；从而，得，故成立（1），（2）。定理3 设，对任一正整数，有（1）； （2）。证明 方法1 ： ； ；方法2： 由，得，（，），取得

3、，于是 ；在，（，）中，取，得，于是得到。定理4 设，对任一正整数，有（1），（2），。定理5（1）设，对任一正整数，成立 ；（2）对任意，对任一正整数，成立。证明 （1）不妨设。由，得，（），取得， ，从而得；（2）在（1）式中取，即得到成立。定理6 （几何平均值算术平均值不等式）对任意（）个非负实数，成立，等号当且仅当时成立。 证明 利用贝努利不等式， 多次套用定理5中的不等式（2），得，等号当且仅当时成立。对任意，有理数，利用几何平均算术平均不等式，有，即；对任何实数，存在有理点列，使得，在中取极限，由连续性，即得成立，由此不等式，可得Young不等式和Young逆不等式。Young不等

4、式与Young逆不等式在空间、空间、泛函分析、调和分析、索伯列夫空间等理论中发挥着重要作用。2 贝努里不等式在证明重要极限时的应用定理7（1）为递增数列；（2）为递减数列。证明 （1）在中取，由于 ，故有，即为递增数列。（2）在中取，由于 ，故有，即为递减数列。显然成立，于是递增有上界，所以存在。定理 8 任给定， 成立 。证明 当时，显然成立；下设，应用贝努利不等式，；取 ，得；取 ，得，从而 ，于是 ，综合以上不等式，我们有 ， 又因为， ，故利用夹逼定理，就得出 。3 贝努里不等式在证明数列极限存在时的应用例1 设，则有存在。证明 显然，从而是单调增加的，下证是有界的。方法1：利用贝努利

5、不等式，得出，于是 ，即得是有界的；方法2：利用几何算术平均不等式，得，于是是单调增加且是有界的，故存在。例2 设，则存在，且。证明 显然，从而是单调增加的，下证是有界的。利用几何平均算术平均不等式，得，于是是单调增加且是有界的，因此存在，又，故 。例 3设，则存在，且 。证明 显然是单调减少且是有界的，于是存在，又，故 。例4 设，则存在。证明 由，得存在再由，得出，故存在。例5 设，则存在。例6设，则存在。例7设，则。解 由，即得。例8 设，则。4 贝努里不等式在证明重要极限时的应用及与其它方法的比较定理9 设 ，；，。则 （1）是严格递增的;（2）是严格递减的;（3），,存在;（4），即

6、 ，。证明 (1)方法1 用二项式展开,进行计算与比较，这是一般数学分析书中常用的方法； 方法2 (应用比值法与贝努利不等式)由于 ,于是有,所以是严格递增的;方法3 (利用几何平均值算术平均值不等式)，所以是严格递增的；(2) 方法1 (应用比值法与贝努利不等式)由于 ,于是有,所以是严格递减的;方法2 (利用几何平均值算术平均值不等式)，即，于是，所以是严格递减的;（3）、（4）的证明是熟知的。定理 10 对任意，成立， ，。证明 因为是严格递增的，是严格递减的，且有，于是， 即得对任意，成立， 。这些结论虽然是熟知的其证明也有多种方法，我们要说明的是仅通过使用贝努利不等式这一技巧，完全靠

7、自身的性质就能得到这一系列结果，处理方法是自然的.5 一般的贝努利不等式及应用于证明Young不等式和Young逆不等式定理11 （1）设，则成立，（，）；（2）设，则成立，（，）。证明 （1）设，则有，由泰勒展式，由此即得（1）式成立。（2）设，则有，由泰勒展式，由此即得（2）式成立。定理12（Young不等式）设则对任意，成立 , 其中等号成立的充要条件是.证明 当，不等式显然成立；设，注意到当，时，有，等号成立当且仅当。设，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到 。定理13(Young逆不等式) 设，此时，则对，成立 , 等号成立当且仅当.证明 注意到当，时，有，等号成立

8、当且仅当。设，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到 。参考文献：1费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解(一)M.济南:山东科学技术出版社,1980。2常庚哲,史济怀. 数学分析教程(上册)M.北京:高等教育出版社,2003.3华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.北京: 高等教育出版社,2001.4匡继昌.常用不等式M.长沙:湖南教育出版社,1989.5裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,2002.6徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲M.北京:高等教育出版社,1984.7 复旦大学数学系.数学分析(上册)M.北京: 高等教育出版社,19

9、88.8邢家省，张愿章等.几何算术平均不等式的初等证明与应用J.河南科学,2007,25(3)353-357.9 邢家省，苏克勤等. Young不等式与Young逆不等式的应用J.周口师范学院学报,2007,24(2):37-39.10郭子胥.排序定理的推广J. 周口师范学院学报,2007,24(2):26-37.The Applications of Bernoulls Inequality XING Jia-sheng（Department of Mathematics, LIMB of the Ministry of Education，Beihang University ,Beiji

10、ng 100083，China)Abstract ： This paper present the role of Bernoulls inequality,which is quoted to prove important limit and sequences limit ;we also prove Geometric mean and Arithmetic mean inequality. Youngs inequality and Youngs inverse inequality with Bernoulls inequality.And communicate the linkbet