转化——解决数学问题的一把利器

1、转化解决数学问题的一把利器江苏 朱咏松有一位数学家提出这样一个问题：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是在烧水，你应该怎样做？”学生们回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气上。”他又提出第二个问题：“假设所有的条件都和原来的一样，只是水壶中已经有了足够的水，这时你又应该怎样回答。”学生们说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但他认为这种回答并不是最好的回答，而最好的回答是：“把水壶中的水倒掉。”“把壶中的水倒掉”，这个看起来十分愚笨的方法，为什么反而还是最好的呢？这是因为数学家眼里：“我已经把后一个问题转化为前一个问题了。”尽管这个故事使人觉得好笑，但它却揭

2、示了数学中一个非常重要的思维方法转化。我国著名的数学家华罗庚称之为“退”。“转化”在初中数学教学内容中可以说是贯穿始终的。如在有理数中把“减”转化成“加”，把“除”转化成“乘”；在方程中把“一次方程组”通过“消元”转化为“一元一次方程”；“函数”与“方程（组）、不等式”间的转化等等。下面通过几个常见的题目来看一看“转化思想”在解题中的应用。【例1】若，求的值。解：由，得。则。评析：此题的方法很多，本解法主要体现的是把“高次”转化为“低次”。利用“”把式中的次数统一转化为一次，从而达到自然抵消的效果。【例2】求的值。解：设，则原式评析：本题直接计算很繁琐，但把“数”转化为“式”，稍稍整理，关系立

3、现。【例3】若，求的值。解：评析: 逆用公式也是转化中常用的手段之一，也就是华罗庚先生所说的“退”。【例4】求证：四个连续的自然数之积与1的和是一个完全平方数。解：设这四个连续的自然数分别为x、x+1、x+2、x+3。由令，则原式即。评析：本题关键是对的处理，强行展开将得到，这是一个高次式，平时很少用，要想分解成完全平方形式，更是困难重重，显然这不是一个好办法。而上面的解答，通过组合，构造出本题的一个局部相同点，再把它用来代替，使原式变的更加明了。充分体现了把“局部”转化为“整体”的妙处。【例5】如图，已知AD为ABC的中线，ADB和ADC的平分线分别交AB、AC于E、F。AMFEDCB求证：

4、BE+CF>EF。证明一：在AD上截取DM=BD，连结EM、FM。BD=DM，BDE=MDE，DE=DEBDEMDE BE=ME 同理：FM=CM在EMF中，ME+MF>EF，即BE+CF>EF。AFEDCBN证明二：延长ED到N，使DN=ED，连结CN、FN。BD=DM，BDE=NDC，DE=DNBDECDN BE=CNDE平分ADB，DF平分ADC，且ADB+ADC=180º，EDF=90ºDF=DF，EDF=NDF=90º，DE=DNFDEFDN EF=NF在CFN中，CN+CF>FN，即BE+CF>EF。评析：本题考查的是三角

5、形的三边关系，但所给的三条线段BE、CF、EF并不在同一个三角形中，因些如何把它们转移到一个三角形中是证此题的关键。以上所给的两种方法，方法一：从“角的平分线”的特点出发，运用“翻折”变换进行线段的转移；方法二：从“中点”出发，运用“旋转”变换进行线段的转移。“翻折”与“旋转”是几何中两种常用的“转化”手法。【例6】已知，且，则直线和直线相交于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限分析：本题所给的两条直线的解析式都含有字母，较为抽象，解决时难度较大。但由于a和b均有一定的限制条件，所以不妨赋予a和b均在此范围内的值，使之具体化。故取，即得和。求出交点坐标为（1，3），因此选A。“转化思想”通常遵循三个原则：