大雾第7章机械波

1、第第7 7章章 机械波机械波7.1 7.1 机械波的几个概念机械波的几个概念7.1.1 7.1.1 机械波的形成机械波的形成7.1.2 7.1.2 横波和纵波横波和纵波 （介质、波源）（介质、波源）7.1.3 7.1.3 波面与波线波面与波线 lS波面波前波线球面波l波面波前波线.4 波长波长/ /频率频率/ /波速关系波速关系T1llTu例：例：某时刻绳上横波波形如图。求某时刻绳上横波波形如图。求P处质点在该时处质点在该时刻的相位，分别用箭头表明图中刻的相位，分别用箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I 各质点在该时刻的运动方向。各质点在该时刻的运动方向。解解：根据波

2、的传播方根据波的传播方向知向知P点比点比A先振动。先振动。3lAP32)(-)(ttAp B、A的的振动总落后于振动总落后于C点，点，D、E、F、G、H、J 振动总是超前于振动总是超前于C点。点。 C点达到正最大位移时，点达到正最大位移时，B、A点都点都朝朝着正方着正方向运动，向着各自的正最大位移行进。向运动，向着各自的正最大位移行进。F、E、D都都已经过了各自的正最大位移，而向负方向运动。已经过了各自的正最大位移，而向负方向运动。 I、H两点不仅两点不仅已经过了各自的正已经过了各自的正的最大位移，而且的最大位移，而且还经过了负的最大还经过了负的最大位移，向正方向运位移，向正方向运动了，动了，

3、G点则处于点则处于负的最大位移处。负的最大位移处。7.2 7.2 平面简谐波平面简谐波7.2.1 7.2.1 波函数波函数 )cos(0tAyuxtAycoslxTtAyuxtAy2coscoslxTtAyuxtAy2coscos则相应的波函数为：则相应的波函数为： 如果以上所如果以上所说的参考点不在说的参考点不在O点，而是在距点，而是在距O点距离为点距离为 x0)cos(0tAyx 式中，减号对应波沿式中，减号对应波沿 Ox 轴正方向传播，加轴正方向传播，加号对应波沿号对应波沿 Ox 轴负方向传播。轴负方向传播。 uxxtAy0cosuxtAyxx00cosuxtAy0cos7.2.2 7.

4、2.2 波函数的物理意义波函数的物理意义xtAytttl2cos000)(cos)(uxtAtx,y)(cos)(uxttAttx,y)(sinuxtAtyv)(cos)(uxtAtx,y)(cos)(uxttAttx,y 上两式表明：上两式表明：1).1).在不同时在不同时刻刻 t1 和和 t1+t 同一同一 x 处质元的位移是不相同的。处质元的位移是不相同的。 2). 2). t1 时刻的时刻的 x1点和点和 t1 +t 时刻的时刻的 x + ut点的位移相等点的位移相等。)(sinuxtAtyv例：例：已知波动方程已知波动方程y =1.210-3cos(105t-220 x)(SI)。求

5、求：1)1)该波的振幅、频率、波速与波长；该波的振幅、频率、波速与波长；2)2)距原距原点点8.00m处的质点在处的质点在 t =10-5s 时间间隔内的相位时间间隔内的相位差差；3)3)在波传播方向上相位差为在波传播方向上相位差为 /3 的两点间的的两点间的距离。距离。A = 1.210-3 (m)；T = 210-5 (s)；=2.8510-2 (m)解：解：11021022cos102 . 153xty)Hz(105214T)m/s(1043. 13lu2)2)距原点距原点8.00m处的质点在处的质点在 t=10-5s时间间隔内时间间隔内的相位差的相位差tT23)3)在波传播方向上相位差

6、为在波传播方向上相位差为 /3 的两点间的距离的两点间的距离3220)11021022(-)11021022(2515xxtxt)m(1075. 46603x例：例：一平面波以速度一平面波以速度u =20m/s沿直线传播。已知沿直线传播。已知A点的振动方程点的振动方程 yA=3cos4t。1)1)以以A点为坐标原点写点为坐标原点写出波函数，写出出波函数，写出CD两点振动方程；两点振动方程；2)2)以以B点为坐点为坐标原点写出波函数，写出标原点写出波函数，写出CD两点振动方程。两点振动方程。解：解：4) s (5 . 02T)m(10 uTltyyAcos430)54cos(3)20(4cos3

7、),(xt-xt-txy以以A点为坐标原点，原点的振动方程为：点为坐标原点，原点的振动方程为：5134cos3)(13tytyxC)54cos(3),(xt-txy594cos3)(9tytyxD2)2)B 比比 A 超前超前：) s (25. 0205)4cos(3)41(4cos30ttyyB5-43cos20-43cos),(xtxttxy51343cos8Ctyyx59t43cos14xDyy例：例：一平面简谐波沿一平面简谐波沿Ox轴正向传播，振幅轴正向传播，振幅A2m，周期周期T=2s，波长，波长=2m。在。在 t = 0时，坐标原点处的时，坐标原点处的质点位于平衡沿质点位于平衡沿y

8、轴的正方向运动。求：轴的正方向运动。求：1)1)波动方波动方程；程；2)2)t1s时各质点的位移分布，并画出该时刻时各质点的位移分布，并画出该时刻的波形图；的波形图；3)3)x0.5m处质点的振动规律，并画出处质点的振动规律，并画出该质点的位移与时间的关系曲线。该质点的位移与时间的关系曲线。解：解：lxTtAy2cos22-2212cos2xty1)1)波动方程波动方程:2)2)t1s时各质点的位移分布时各质点的位移分布2-2212cos2xtyxy-2cos2) s ( 1t3)3)x0.5m处质点的振动规律处质点的振动规律2-2212cos2xty)m(5 . 0t)-cos(2ty 例：

9、例：图图(a)(a)为为 t0时刻的波形；图时刻的波形；图(b)(b)为为原点原点 x = 0处质元的振动曲线，求此波的波函数，并画出处质元的振动曲线，求此波的波函数，并画出 x = 2m处质元的振动曲线。处质元的振动曲线。解：解： =4(m)，T =2(s)；(m/s)224TulA =2(cm)，t =0时，时，x =0处质元位处质元位移移 yo=0，v00，该质元的初相位：，该质元的初相位：2 x = 0处的质元的振动方程为：处的质元的振动方程为： )2cos(2)2cos(20ttTy从图从图(a)可以判断波可以判断波沿沿 x 轴轴负向传播。负向传播。2-)2(cos2xtyx = 2

10、m处质元的振动方程为：处质元的振动方程为：212cos22tyyx7.3 7.3 机械波的能量机械波的能量.1 弹性体的形变规律弹性体的形变规律1.1.线变线变 llESFlkllESF22)(21)(21llElkEP应力：应力：F/S 线应变：线应变：l/l 杨氏模量杨氏模量弹性势能：弹性势能：胡克定律：胡克定律：2.2.剪切形变剪切形变 剪应力：剪应力：F/S ，剪应变：剪应变： = d/D ，胡克定律：胡克定律： G 称为称为剪切模量。剪切模量。弹性势能：弹性势能：DdGGSF22)(2121DdGGEP3.3.体变体变 压强变化压强变化：p，体应变：体应变：V/V ，

11、胡克定律：胡克定律： K 称为称为体弹模量。体弹模量。压缩系数压缩系数：VVKPpVVKk3.2 弹性介质中的波速弹性介质中的波速 弹性介质中的波是靠介质各质元间的弹力作弹性介质中的波是靠介质各质元间的弹力作用而形成的。因此，弹性越强的介质，在其中形用而形成的。因此，弹性越强的介质，在其中形成波的传播速度也越大；或者说，弹性模量越大成波的传播速度也越大；或者说，弹性模量越大的介质，波的传播速度就越大。的介质，波的传播速度就越大。 波的传播速度还与介质的密度有关。因为密波的传播速度还与介质的密度有关。因为密度越大，质元的质量就越大，其惯性就越大，前度越大，质元的质量就越大，其惯

12、性就越大，前方的质元就越不容易被其后紧接着的质元的弹力方的质元就越不容易被其后紧接着的质元的弹力带动。这将延缓扰动的传播速度。因此，密度越带动。这将延缓扰动的传播速度。因此，密度越大的介质，其中波的传播速度就越小。大的介质，其中波的传播速度就越小。xSmxDydddxxySGF)(1xxxySGF)(2 质元受到的质元受到的合力：合力：xxxxyxySGF)()(xxydxdSG)(xxydxdSGF)(xxySG22由牛顿第二定律由牛顿第二定律：2222tyxSxxySG2222tyGxyGu 棒中横波的速度棒中横波的速度：222221tyuxyEu 棒中纵波的速度棒中纵波的速度：液体和气体

13、中纵波的速度液体和气体中纵波的速度：细绳中横波的速度细绳中横波的速度：气体中纵波的速度气体中纵波的速度：Ku lFupu 7.7.4 4 波的能量波的能量)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv221VvWk)(sin21222uxtAV)(sinuxtuAxyVxyGWp2)(21)(sin21222uxtVAWppkWWW)(sin222uxtVA能量密度能量密度( (单位体积内的能量单位体积内的能量) )平均能量密度平均能量密度( (一个周期内能量密度平均值一个周期内能量密度平均值) )(sin222uxtAVW22222221AA 通过面积通过面积 S 能流：能流：)(sin222

14、uxtSAudtudtSPuSPIuA22212211SISI21AA 设介质不吸收波的能量：设介质不吸收波的能量：平面波：平面波：波的强度：波的强度：对于球面波：对于球面波：或：或：球面简谐波的波函数：球面简谐波的波函数：22222121rArA2211rArA)(cos1urtrAy球球 面面 波波平平 面面 波波O1R2Rtu7.7.5 5 惠更斯原理与波的反射和折射惠更斯原理与波的反射和折射 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。包络就是新的波前。

15、 波的衍射：波的衍射：波在传播过程中遇到障波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播。物的阴影区内继续传播。i i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 tB2B3B1NNAIB32dd3dLiii时刻时刻 t +t时刻时刻 ti i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 t +tB2B3B1NNAIrrBRri i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 t时刻时刻 t +ttuBA133tuAB2B2B3B1NNAIrrBRriABA33rABB32133sinsinuuABBAri7.7.6 6

16、 波的叠加波的叠加 几列波相遇之后，仍然保持它们各自原几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频有的特征（频、波长、振幅、振动方向等）、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。有遇到过其他波一样。 在相遇区域内任一点的振动，为各列波在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。和。1s2sP*1r2r 波源振动：波源振动：)cos(111tAy)cos(222tAy 波的相干条件波的相干条件1 1) )频率相同频率相同2 2) )振动方向平行振

17、动方向平行3 3) )相位差恒相位差恒定定)2cos()2cos(22221111llrtAyrtAypp1s2sP*1r2r)22()(1212rr)(2)(1212rr)2()2(1122rr)2()2(1122rtrtr20)cos(21tAyyyppp1s2sP*1r2r)2cos(1111lrtAyp)2cos(2222lrtAyp)cos(21tAyyyppp)2cos()2cos()2sin()2sin(tan122111222111llllrArArArAcos2212221AAAAArr12122)(=常量常量1) ) 合振动的振幅在空间各点的分布随位置合振动的振幅在空间各点

18、的分布随位置 而变，但是稳定的。而变，但是稳定的。)(2)(cos21212212221rrAAAAA2121,2, 1 ,0)12(,2, 1 ,02AAAkkAAAkk2) ) 例：例：图为声音干涉仪。声波从入口图为声音干涉仪。声波从入口E进入，分进入，分BC两两路在管中传播，至喇叭口路在管中传播，至喇叭口A会合传出。弯管会合传出。弯管C可伸缩，可伸缩，当它渐渐伸长时，从喇叭口发出的声音周期性地增强当它渐渐伸长时，从喇叭口发出的声音周期性地增强或减弱。若或减弱。若C管每伸长管每伸长8cm声音减弱一次，求此声波声音减弱一次，求此声波的频率的频率( (空气中声速为空气中声速为340m/s) )

19、。 解：解：DCA与与DBA两路声波干两路声波干涉减弱条件：涉减弱条件：2) 12 (12lkrr2 1) 1(22212lkxrrxlx2(Hz)21250802340.lu例：例：AB 为同一介质中两相干波源。其振幅皆为为同一介质中两相干波源。其振幅皆为5cm，频率皆为频率皆为100Hz，A为波峰时，为波峰时，B为波谷。设波速为为波谷。设波速为10m/s，写出由，写出由AB发出的两列波传到发出的两列波传到P的干涉结果。的干涉结果。解：解：15m20mABPm25BPm10. 0lurAB2)(设：设： BA021AAA201APBPr7.7 7.7 驻波驻波7.7.1 7.7.1 驻波的产

20、生驻波的产生 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿波，在同一直线上沿相反方向相反方向传播时叠加而形传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。成的一种特殊的干涉现象。txAl2cos2cos221yyy)(2cos)(2cosllxtAxtA7.7.2 7.7.2 驻波的方程驻波的方程)/(2cos)/(2cos21llxtAyxtAytxAyl2cos2cos2 驻波方程：驻波方程：1 1).).振幅随振幅随 x 而异，与时间无关。而异，与时间无关。012coslx, 2 , 1 , 02kkxl, 2 , 1 , 0)21(2kkxl012c

21、oslx, 2 , 1 , 02kkxl, 2 , 1 , 0)21(2kkxl0, 1 , 0;2)21(2, 1 , 0;2minmaxAkkAAkkxll波节波节波腹波腹txAyl2cos2cos2lx2cos,44, 0llxtxAy2cos2cos2)2(cos2cos2txAyl,434, 0llxlx2cosxyo2l2l4lx为为波节波节例例2 2) )相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在振动相位相反，在波节波节处产处产生生 的的相位跃变。相位跃变。7.7.3 7.7.3 半波损失半波损失 当波从波疏介质垂直入射到

22、波密介质，被反当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节。入射波与反射波在此射到波疏介质时形成波节。入射波与反射波在此处的相位处的相位时时相反时时相反，即反射波在分界处产，即反射波在分界处产生生 的相的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差。位跃变，相当于出现了半个波长的波程差。 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此射到波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此处的相位处的相位时时相同时时相同，即反射波在分界处不产生相，即反射波在分界处不产生相位跃变。位跃变。例：例：一角频率为一角频率为 w，振幅为，振幅为A的平面简谐波的平面简谐波沿沿 x 轴轴正正方向传播，设在方向传播，设在 t = 0 时该波在原点时该波在原点O处引起的振动处引起的振动使媒质元由平衡位置使媒质元由平衡位置向向 y 轴轴的负方向运动。的负方向运动。M是垂是垂直于直于 x 轴的轴的波密媒质反射面。波密媒质反射面。OO= 7/4，PO=/4；设反射波不衰减，求：设反射波不衰减，求：(1)(1)入射波与反射波的表达式；入射波与反射波的表达式；(2)(2)P点的振动方程。点的振动方程。 x y O P M O 解解: :(1)(1)cos(0tAy当当 t = 0时，时， y0 = 0，v0 0：2/)2/