高中数学集合

1、第一节 集合 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作础，基础知识是耕作“半亩方塘半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！它会带你走进不一样的精彩！三年三年3434考考 高考指数高考指数: :1.1.了解集合的含义、元素与集合的了解集合的含义、元素与集合

2、的“属于属于”关系关系. .2.2.能用自然语言、图形语言、集合语言能用自然语言、图形语言、集合语言( (列举法或描述法列举法或描述法) )描述描述不同的具体问题不同的具体问题. .3.3.理解集合之间包含与相等的含义理解集合之间包含与相等的含义, ,能识别给定集合的子集能识别给定集合的子集. .4.4.在具体情境中在具体情境中, ,了解全集与空集的含义了解全集与空集的含义. .5.5.理解两个集合的并集与交集的含义理解两个集合的并集与交集的含义, ,会求两个简单集合的并集会求两个简单集合的并集与交集与交集. .6.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义理解在给定集合中一个子集的补集的含义,

3、 ,会求给定子集的补会求给定子集的补集集. .7.7.能使用能使用VennVenn图表达集合的关系及运算图表达集合的关系及运算. .1.1.集合的运算是高考考查的重点集合的运算是高考考查的重点. .2.2.常与函数、方程、不等式交汇，考查学生借助常与函数、方程、不等式交汇，考查学生借助VennVenn图、数轴图、数轴等工具解决集合的运算问题的能力，要求学生具备数形结合的等工具解决集合的运算问题的能力，要求学生具备数形结合的思想意识思想意识. .3.3.以选择题、填空题的形式考查，属低档题以选择题、填空题的形式考查，属低档题. .1.1.集合的基本概念集合的基本概念（1 1）元素的特性）元素的特

4、性_ _ _ _ _（2 2）集合与元素的关系）集合与元素的关系（3 3）集合的分类）集合的分类_ _ _ _ _确定性确定性互异性互异性无序性无序性_属于记为_不属于记为 有限集有限集无限集无限集空集空集（4 4）常见集合的符号）常见集合的符号(5)(5)集合的表示方法集合的表示方法_ _ _ _ _列举法列举法描述法描述法VennVenn图法图法_N NN N* *或或N N+ +Z ZQ QR R自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集空集空集_【即时应用】【即时应用】(1)(1)判断下列结论是否正确（请在括号中填写判断下列结论是否正确（请在括号中填写“”

5、或或“”）：）：Z=Z=全体整数全体整数 ( ) ( )R=R=实数集实数集=R ( )=R ( )(1(1，2)=12)=1，2 ( )2 ( )11，2=22=2，1 ( )1 ( )（2 2）若集合）若集合A=1A=1，a a2 2 ，则实数，则实数a a不能取的值为不能取的值为_._.【解析】【解析】(1)(1)不正确，正确写法为不正确，正确写法为Z=Z=整数整数;不正确，正确写法为不正确，正确写法为R=R=实数实数 ；而；而RR表示以实数集为元素表示以实数集为元素的集合；的集合；不正确，集合不正确，集合 （1 1，2 2） 表示元素为点（表示元素为点（1 1，2 2）的点的集合，）的

6、点的集合，而而11，22则表示元素为数则表示元素为数1 1，2 2的数的集合，它们是不相等的；的数的集合，它们是不相等的；正确，根据集合中元素的无序性可知正确，根据集合中元素的无序性可知11，2=22=2，1.1.（2 2）由）由a a2 21,1,得得aa1.1.答案：答案：（1 1） （2 2）1 12.2.集合间的基本关系集合间的基本关系A A中任意一个元素都是中任意一个元素都是B B中的元素中的元素 A AB B或或B BA A 集合集合A A是集合是集合B B的子集，并且的子集，并且B B中至少有一个元素不属于中至少有一个元素不属于A A A AB B或或B BA A 空集是空集是_

7、的子集的子集, ,是是_的真子集的真子集A AB(BB(B) )集合集合A A的的_都是集合都是集合B B的元素，反过来，集合的元素，反过来，集合B B的的_也都是集合也都是集合A A的元素的元素A AB B且且B BA AA=BA=B任意一个集合任意一个集合任何非空集合任何非空集合每一个元素每一个元素每一个元素每一个元素【即时应用】【即时应用】(1)(1)满足满足11，2 2，33M M11，2 2，3 3，4 4，5 5，66的集合的集合M M的个数的个数是是_._.(2)(2)若若A=x|x2A=x|x2或或x1,B=x|axa+1,x1,B=x|ax0,B=x|y= ,+x-60,B=

8、x|y= ,则则AB=_.AB=_.(3)(3)已知全集已知全集U=R,U=R,集合集合A=x|-2x3,B=x|xA=x|-2x3,B=x|x-1-1或或x x4,4,那么集合那么集合A( )A( )等于等于_._.3xUB【解析】【解析】（1 1）由题意知）由题意知M=2,3M=2,3或或M=1M=1，2 2，3,3,共共2 2个个. .(2)A=x|x-3(2)A=x|x2,B=x|x3,x2,B=x|x3,AB=x|x-3AB=x|x-3或或2x3.2x3.(3) =x|-1x4,(3) =x|-1x4,A( )=x|-1x3.A( )=x|-1x3.答案：答案：（1 1）2 2 （2

9、 2）x|x-3x|x-3或或2x320-2x+a0，且且1 1A A，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是( )( )（A A）（）（-,1-,1） （B B）(-,1(-,1（C C）1,+) 1,+) （D D）(0,+)(0,+)【解析】【解析】选选B.B.当当1A1A时，把时，把1 1代入代入x x2 2-2x+a0-2x+a0成立，即成立，即1-2+a01-2+a0，a1,1a1,1A A时，时，a1.a1. 集合间的基本关系集合间的基本关系【方法点睛】【方法点睛】1.1.解决集合相等问题的一般思路解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等若两个集合相等, ,首先分析已知元素

10、在另一个集合中与哪一个元首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等素相等, ,有几种情况等有几种情况等, ,然后列方程组求解然后列方程组求解, ,要注意挖掘题目中的要注意挖掘题目中的隐含条件隐含条件. .2.2.判断两集合关系的方法判断两集合关系的方法判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系找关系. .【提醒】【提醒】题目中若有条件题目中若有条件B BA A，则应分，则应分B=B=和和BB两种情况两种情况讨论讨

11、论. . 【例【例2 2】（】（1 1）已知）已知aR,bR,aR,bR,若若a, 1=aa, 1=a2 2,a+b,0,a+b,0,则则a a2 0132 013 +b +b2 0132 013=_.=_.（2 2）已知集合）已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若若B BA,A,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.（3 3）设）设A=x|xA=x|x2 2-8x+15=0,B=x|ax-1=0,-8x+15=0,B=x|ax-1=0,若若B BA A，求实数，求实数a a组成的集合组成的集合C.C.b,a【解题指南】【

12、解题指南】(1)(1)由两集合相等及由两集合相等及a0a0知，知，b=0,b=0,从而从而a a2 2=1.=1.(2)(2)分分B=B=与与BB两种情况讨论两种情况讨论. .(3)(3)化简集合化简集合A A，结合方程，结合方程ax-1=0ax-1=0的解的情况，分的解的情况，分B=B=和和BB两两种情况讨论种情况讨论. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意知，由题意知，a0, =0,b=0.a0, =0,b=0.a,0,1=a,0,aa,0,1=a,0,a2 2.a.a2 2=1=1，即，即a=a=1.1.经验证当经验证当a=1a=1时不合题意，当时不合题意，当a=-1a=-1时，

13、符合题意时，符合题意. .a=-1,aa=-1,a2 0132 013+b+b2 0132 013=(-1)=(-1)2 0132 013+0+02 0132 013=-1.=-1.答案：答案：-1-1ba(2)(2)当当B=B=时时, ,有有m+12m-1,m+12m-1,得得m2,m2,当当BB时时, ,有有 解得解得2 2m4,m4,由由求并集得求并集得:m4.:m4.答案：答案：m4m4m122m 17m1 2m 1 ，(3)A=3,5,B(3)A=3,5,BA,A,当当B=B=时，方程时，方程ax-1=0ax-1=0无解，则无解，则a=0,a=0,此时有此时有B BA;A;当当BB时

14、，则时，则a0,a0,由由ax-1=0ax-1=0，得，得即即 3,5,3,5,1a1x.a1135,aa或111 1aa,C0, , .355 3或【互动探究】【互动探究】若本例（若本例（3 3）条件不变）条件不变. .(1)(1)当集合当集合B BA A时，试求实数时，试求实数a a的值的值. .(2)(2)当当AB=3AB=3时，试求实数时，试求实数a a组成的集合组成的集合C.C.【解析】【解析】(1)(1)若若B BA A，则，则B=B=，33，55(2)(2)若若AB=3AB=3，则，则B=3,B=3,1 1a0, , .3 511a,C .33【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答

15、本例（解答本例（2 2），（），（3 3）时，易忽视）时，易忽视B=B=这种这种情况，使解题不完整，造成失分情况，使解题不完整，造成失分. .2.2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系. .求解时可合理求解时可合理利用数轴、利用数轴、VennVenn图帮助分析图帮助分析. .3.3.子集与真子集的区别与联系：集合子集与真子集的区别与联系：集合A A的真子集一定是其子集，的真子集一定是其子集，而集合而集合A A的子集不一定是其真子集；若集合的子

16、集不一定是其真子集；若集合A A有有n n个元素，则其子个元素，则其子集个数为集个数为2 2n n, ,真子集个数为真子集个数为2 2n n-1.-1.【变式备选】【变式备选】1.1.设集合设集合A=(x,y)|4x+y=6,B=(x,y)|3x+2y=7,A=(x,y)|4x+y=6,B=(x,y)|3x+2y=7,则满足则满足C C(AB)(AB)的集合的集合C C的个数是的个数是( )( )（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【解析】【解析】选选C.AB=(x,yC.AB=(x,y）| =| =（1 1，2 2）,C=C=或或C=(1,2),C=(1,2

17、),共两个共两个. .4xy63x2y72.2.已知集合已知集合A=x|0ax+15A=x|0ax+15，集合，集合B=x| x2.B=x| x2.(1)(1)若若A AB B，求实数，求实数a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)若若B BA A，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围; ;(3)A(3)A、B B能否相等？若能，求出能否相等？若能，求出a a的值；若不能，试说明理由的值；若不能，试说明理由. .12【解析】【解析】A A中不等式的解集应分三种情况讨论中不等式的解集应分三种情况讨论: :若若a=0,a=0,则则A=RA=R；若若a0,a0,a0,则则A=x| .A=x|

18、.(1)(1)当当a=0a=0时，若时，若A AB B，此种情况不存在，此种情况不存在. .当当a0a0时，若时，若A AB,B,如图，如图，41xaa 14xaa则则 a-8.a0a0时，若时，若A AB B，如图，如图，则则a2.a2.综上知，当综上知，当A AB B时，时，a-8a-8或或a2.a2.41a8a2,11a22a 11a2a2,.4a22a (2)(2)当当a=0a=0时，显然时，显然B BA A；当当a0a0a0时，若时，若B BA A，如图，如图，则则0a2.0a2.综上知，当综上知，当B BA A时，时，(3)(3)当且仅当当且仅当A AB B且且B BA A时，时，

19、A=B,A=B,由（由（1 1）（）（2 2）知）知a=2.a=2.11a2a2.4a22a ，1a2.2 集合的基本运算集合的基本运算【方法点睛】【方法点睛】1.1.集合运算的常用方法集合运算的常用方法一般地，集合元素离散时借助一般地，集合元素离散时借助VennVenn图运算；集合元素连续时借图运算；集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍. .2.2.常用重要结论常用重要结论(1)AB=A(1)AB=AA AB;B;(2)AB=A(2)AB=AA AB.B.【提醒】【提醒】在解决有关在解决有关AB=AB=，AB=AB=，A A

20、B B等集合问题时，等集合问题时，一定先考虑一定先考虑是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用形结合思想的应用. . 【例【例3 3】(1)(2011(1)(2011山东高考）设集合山东高考）设集合M=x|xM=x|x2 2+x-60,+x-60,N=x|1x3,N=x|1x3,则则MN=( )MN=( )(A)(A)1 1，2 2） (B)(B)1 1，2 2 (C)(C)（2 2，3 3 (D)(D)2 2，3 3(2)(2)（20112011湖南高考湖南高考) )设全集设全集U=MN=1U=MN=1，2 2，3 3，4 4，55

21、，M =2M =2，44，则，则N=( )N=( )(A)1(A)1，2 2，3 (B)13 (B)1，3 3，5 (C)15 (C)1，4 4，5 (D)25 (D)2，3 3，44(3)(2011(3)(2011辽宁高考辽宁高考) )已知已知M M，N N为集合为集合I I的非空真子集，且的非空真子集，且M M，N N不相等，若不相等，若N N ，则，则MN=( )MN=( )（A A）M M （B B）N N （C C）I I （D D）UNIM 【解题指南】【解题指南】（1 1）化简集合）化简集合M M，借助数轴求解，借助数轴求解. .(2)(2)借助于借助于VennVenn图知图知

22、从而从而（3 3）借助于）借助于VennVenn图寻找集合图寻找集合M M，N N的关系的关系. .UNM，UUMNN.痧【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.M=x|-3x2,A.M=x|-3x2,MN=x|1x2.MN=x|1x2.(2)(2)选选B.U=MN,B.U=MN,N=1N=1，3 3，5.5.（3 3）选）选A.A.如图，如图，N ,N ,NNM M，MN=M.MN=M.UUUNM,MNN2,4 , 痧UNNU又，IM 【互动探究】【互动探究】本例（本例（2 2）中增加条件）中增加条件N =3N =3，55，试求，试求MN.MN.【解析】【解析】由本例（由本例（2 2）可

23、知）可知N=1N=1，3 3，55，同理可求，同理可求M=1M=1，2 2，44，MN=1.MN=1.UM【反思【反思感悟】感悟】1.1.求解本例（求解本例（2 2），（），（3 3）时，借助于）时，借助于VennVenn图，图，可使抽象问题直观化，从而发现集合间的关系可使抽象问题直观化，从而发现集合间的关系. .2.2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算求集合的并、交、补是集合间的基本运算, ,运算结果仍然是集运算结果仍然是集合合, ,区分交集与并集的关键是区分交集与并集的关键是“且且”与与“或或”，在处理有关交集，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条与并集

24、的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合件，并结合VennVenn图或数轴进行直观表达，达到解题的目的图或数轴进行直观表达，达到解题的目的. .【变式备选】【变式备选】已知已知A A，B B均为集合均为集合U=1U=1，3 3，5 5，7 7，99的子集，且的子集，且AB=3AB=3， A=9A=9，则，则A=( )A=( )（A A）11，3 3 （B B）33，7 7，99（C C）33，5 5，9 9 （D D）33，99【解析】【解析】选选D.D.画出画出VennVenn图如图所示，则图如图所示，则A=3A=3，9.9.UB（） 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。

25、本栏目以最新把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千

26、里。千里。【创新探究】【创新探究】以集合为背景的新定义题以集合为背景的新定义题【典例】（【典例】（20112011广东高考）设广东高考）设S S是整数集是整数集Z Z的非空子集，如果的非空子集，如果 a,bSa,bS有有abSabS，则称，则称S S关于数的乘法是封闭的关于数的乘法是封闭的. . 若若T,VT,V是是Z Z的的两个不相交的非空子集，两个不相交的非空子集，TV=ZTV=Z且且a,b,cTa,b,cT有有abcT;abcT; x,y,zV ,x,y,zV ,有有xyzVxyzV，则下列结论恒成立的是，则下列结论恒成立的是( )( )(A)T,V(A)T,V中至少有一个关于乘法是封闭

27、的中至少有一个关于乘法是封闭的(B)T,V(B)T,V中至多有一个关于乘法是封闭的中至多有一个关于乘法是封闭的(C)T,V(C)T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的中有且只有一个关于乘法是封闭的 (D)T,V(D)T,V中每一个关于乘法都是封闭的中每一个关于乘法都是封闭的 【解题指南】【解题指南】通过符合题目条件的特例对各选项进行分析通过符合题目条件的特例对各选项进行分析. .【规范解答】【规范解答】选选A.A.若若T=T=偶数偶数 ，V=V=奇数奇数 ，则，则T T、V V中每一个关中每一个关于乘法都是封闭的，故于乘法都是封闭的，故B B、C C不正确；若不正确；若T=T=非负整数非负整数

28、，V=V=负整负整数数 ，则，则T T关于乘法是封闭的，关于乘法是封闭的，V V关于乘法不封闭，故关于乘法不封闭，故D D不正确；不正确；事实上，事实上，T T、V V必有一个含有必有一个含有1 1，由题目条件知含有，由题目条件知含有1 1的这个集合的这个集合一定关于乘法封闭一定关于乘法封闭. .综合以上分析只有综合以上分析只有A A正确，故选正确，故选A.A.【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下的通过对本题的深入研究，我们可以得到以下的创新点拨和备考建议：创新点拨和备考建议：1.1.（20122012佳木斯模拟）设全集佳木斯模拟）设全集U U是实数集是实数集R R，M Mx|xx|x2 244，N Nx|1x|1x x33，则图中阴影部分所表示的集合是，则图中阴影部分所表示的集合是 ( )( )(A)x|-2x1 (B)x|-2