第二章习题

1、第二章第二章 习题习题7. 如果如果f(z)=u+iv是是z的解析函数的解析函数,证明证明:222| )(|)(|(|)(|(zfzfyzfx 证证,| )(|22vuzf ,| )(|22vuxvvxuuzfx ,| )(|2222vuxuvxvuvuyvvyuuzfy ,xvixuzf .xvyu ,yvxu )()()()(1|)(|(|)(|(22222222xuvxvuxvvxuuvuzfyzfx 22222222222| )(|)()()()(1zfxvxuxvvuxuvuvu 2.3.下列函数何处可导下列函数何处可导,何处解析何处解析?解解1) f (z)=x2- -iy ;u

2、=x2 ,v =- -yyvxxu 12xvyu 00仅在直线仅在直线x= - -1/2 上满足上满足C-R方程方程, 故故f(z)在直线在直线x = - -1/2 上可导上可导,但在复平面内处处不解析但在复平面内处处不解析.2) f (z)=xy2+ +ix2y ;解解 u =xy2 ,v =x2y ;yvxyxu 22xvxyxyyu 22仅在仅在x =0,y=0处满足处满足C-R方程方程,故故f(z)在原点在原点z=0可导可导,但在复平面内处处不解析但在复平面内处处不解析.指出下列函数指出下列函数f(z)的解析性区域的解析性区域,并求出其导数并求出其导数.3)112 z解解,)1(2)(

3、22 zzzfz2-1=0 ,即即z=1时时,f(z)不解不解析析,除此以外除此以外,在复平面内处处解析在复平面内处处解析.4.求下列函数的奇点求下列函数的奇点:2)1()1(222 zzz解解由由(z+1)2(z2+1)=0 可知可知,该函数在该函数在z=- -1, z=i 处不连续处不连续,当然也不可导当然也不可导,从而不解析从而不解析,故为奇点故为奇点.8. 设设 my3+nx2y+i(x3+lxy2) 为解析函数为解析函数,试确定试确定l,m,n的值的值.解解u = my3+nx2y, v = x3+lxy2 ,22yvlxynxyxu xvlyxnxmyyu 222233对于解析函数

4、对于解析函数,有有由此得由此得 n=l, 3m= -l, n= -3 ,故故 l= -3, m=1, n= -3 .证明柯西证明柯西-黎曼方程的极坐标形式是黎曼方程的极坐标形式是:,1 vrru.1 urrv证证 x= r cos , y= r sin ,u= u(x(r, ),y(r, ) , v= v(x(r, ),y(r, ) ,sincos yuxuryyurxxuru ),cossin( yuxuryyuxxuu ,sincos yvxvryyvrxxvrv ),cossin( yvxvryyvxxvv yvxu 由由C-R方程方程:xvyu ,1cossin vryvxvru.1s

5、incos urxuyurv9.12.21.找出下列方程的全部解找出下列方程的全部解:1) sinz = 0 ,解解 02sin ieeziziz由由izizee 得得到到即即, 12 ize因此因此ikikiLniz 221arg1ln12 所以所以 ,2,10, kkz 3) 1+ e z = 0 ;解解e z = - -1 , ikiLnz 21arg1ln1 , 2, 1, 0 k解下列方程解下列方程:故故 z=(2k+1) i 3) shz = i ;解解ieeshzzz 2由由,2ieezz 得得到到由此得由此得 e2z - 2iez -1= 0 ,即即 (ez i)2 = 0 ,

6、故故 ez -i= 0 ,从而从而 ez = i. 因此因此 ), 2, 1, 0()212(2argln kikikiiiiLnz 13.15.证明证明:1212121)sinsincoscossinzzzzzz3)sin22sin coszzz证证)()()()(2211221121212121ziziiziziziziziziieeeeeeee )()()()(4121212121(zzizzizzizziieeee )sin()(21)()(212121zzeezzizzii 2121sincoscossinzzzz 令令z1= z2=z, 得得 sin 2z =2 sinz cosz

7、 .)()()()(21212121zzizzizzizzieeee 求求Ln(-i) ,Ln(-3+4i)以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值. ), 2, 1, 0()212(2argln kikikiiiiLn 解解 ikiiiiLn 243arg43ln43 )342(5lnarctgki 主值主值 2lnii iarctgi)34(5ln)43ln( ), 2, 1, 0( k18.12,exp(1)/4,3(1).iiieii求和的值解解,)2sin()2cos(21eiieei ),1(22)4sin4(cos4/ )1exp(441ieiei 3i = e iLn3 = e i(ln|3|+iarg3+2k i) = e iln3-2k