核反应堆单速中子扩散

1、第三章 单速中子扩散从第一章的讨论知道，反应堆内的链式裂变反应过程实质上就是中子在介质内的不断产生、运动和消亡的过程。反应堆理论的基本问题之一，是确定堆内中子密度（或中子通量密度）的分布。由于中子与原子核间的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种杂乱无章的具有统计性质的运动，即原来在堆内某一位置具有某种能量和某一运动方向的中子，在稍晚些时候，将在堆内的另一位置以另一能量和另一运动方向出现。因而中子密度分布不仅与空间坐标r有关，而且是中子速度v(或能量)和运动方向的函数，即中子密度的分布可以用函数n(r,v,)中子角密度来表示。它的定义是：在r处单位体积内和速度为v的单位速度间隔内，运动方向为的单

2、位立体角内的中子数目。和它对应的中子角通量密度为(3-1)它是沿方向运动的平行中子束。如果将中子角密度和上式对所有立体角方向积分，便得到与运动方向无关的中子密度(3-2)和标量中子通量密度(3-3)它们是核反应堆物理计算中经常使用的量。我们的任务是要求出反应堆内中子密度的分布。因此，首先必须求得描述中子在介质内输运过程的基本方程式，然后，根据具体问题求出该方程的解。描述中子输运过程的精确方程叫做玻尔兹曼输运方程，因为它与玻尔兹曼用来研究气体扩散的方程相似。如果中子通量密度的分布是接近于各向同性的（例如在大型反应堆堆芯的中心部分），那么，可以近似地认为中子通量密度的分布与运动方向无关，从而使问题

3、大大简化。通过这种近似简化得到的方程称为扩散方程。同时，如果先不考虑中子通量密度随能量的变化，而假设所有中子（包括源中子）都具有相同的能量也就是单能(速)中子，那么问题又可获得进一步的简化，这时中子通量密度便仅仅是空间坐标r的函数。3.1 单速中子扩散方程在物理学中，我们已经熟悉分子的扩散现象，即分子间的无规则碰撞，分子从浓度大的地方向浓度小的地方扩散，并且分子扩散的速率与分子密度的梯度成正比，也就是服从“斐克扩散定律”。同样地，若把一个中子源（例如镭铍源）放到某一介质内，我们可以通过测量仪器观察到，中子不断地从源点扩散开来，经过一段时间后，介质内到处都有中子了。中子的扩散主要是中子与介质原子

4、核散射碰撞的结果。在中子密度大的地方，中子与原子核碰撞的次数就多，而每次碰撞以后，中子通常要改变运动方向离开碰撞中心（见图3.1）。因此与分子的扩散相似，中子总是从密度高的地方向密度低的地方扩散。中子的扩散也服从斐克扩散定律，它是中子扩散近似模型的基础。图3.1 中子与介质原子核的散射碰撞一、斐克定律考虑稳态情况，也就是说中子通量密度不随时间变化，为了简化问题，假设中子通量密度(x)只是一个空间变量的函数（见图3.2）。我们考虑中子穿过x=0的平面的运动。由于x=0平面左边的中子通量密度高于平面右边的中子通量密度，因而，平面左边每秒每立方厘米内发生散射的中子数比右边发生散射的中子数多。所以从左

5、边散射穿过x=0平面到达右边的中子数要比从右边散射到左边的多。这样，在x=0平面上就产生了一个沿正x方向的净中子流。显然，平面两侧的通量密度梯度愈大，中子流也愈大。图3.2 由于非均匀通量密度分布产生的中子流若以表示沿负x方向的分中子流密度，即每秒自右方（沿负x方向）向左穿过单位面积的中子数，那么，可以得出(3-4)用同样的方法，可以求得单位时间内沿正x方向穿过zy平面上单位面积的中子数为：(3-5)这样，单位时间沿着x方向穿过zy平面上单位面积的净中子数，以表示，便等于(3-6)把叫做x方向的中子流密度或净中子流密度，它表示沿正x方向的中子净流动速率。同样，可以求出z方向和y方向上的中子流密

6、度分别为(3-7)和(3-8)如果所讨论的面积元并不垂直于任一坐标轴的方向，它的法线n与x，y和z轴分别成，和角度，那么单位时间穿过这一单位面积的净中子数J便等于(3-9)可以把(3-9)式写成所讨论面积元的单位法线矢量n与矢量J的乘积，即(3-10)式中(3-11)矢量J称为中子流密度，,和便是它在x,y和z轴上的投影。可见，穿过单位面积的中子流与面积的取向有关，当法线n与J一致时它将具有最大值。(3-11)式称为斐克定律。它表示：中子流密度J正比于负的通量密度梯度，其比例常数叫做扩散系数，并用D表示。于是，斐克定律便可以写成(3-12)式中(3-13)二、单速扩散方程的建立建立中子运动方程

7、时用到的一个基本原则，就是中子数守恒或者中子数平衡，即在一定的体积内，中子密度对时间的变化率应等于中子的产生率减去中子的吸收率和泄漏率，即(3-14)中子扩散方程就是根据这一平衡原则建立的。下面我们应用前面已经求得的斐克定律来求出扩散方程的具体形式。首先计算中子的泄漏率。如图3.3所示，设在某一点(x,y,z)处有一个小的体积单元，其体积dV=dxdydz，上下两表面面积为dxdy。单位时间内由下表面进入dV的中子数是，Jz是z方向的中子流密度。同样，由上表面流出dV的中子数是。于是，通过平行于xy平面的上下两个平面，单位时间从dV中泄漏出去的中子数为图3.3 计算中子泄漏示意图用同样方法可以

8、求出，通过平行于yz平面和xz平面的两个表面，从dV中泄漏出去的中子数分别是和因此，中子从dV内泄漏的总数等于以上三项之和。这样，单位时间、单位体积泄漏出去的中子数(3-15)若扩散系数D与空间位置无关，那么便得到(3-16)上式中的是拉普拉斯算符。在反应堆计算常用的几种坐标系中，的表达式如下：直角坐标系柱坐标系球坐标系每秒每单位体积内被吸收的中子数为设每秒每单位体积内产生的中子数为S(r,t)，因此(3-14)式便可写成(3-17)(3-17)式就是单速中子扩散方程，可以用它来近似地确定在许多情况下中子通量密度的分布。若通量密度不随时间变化，则方程(3-17)就可以化为(3-18)上式称为稳

9、态单速中子扩散方程。3.2 非增殖介质内中子扩散方程的解稳态情况下的扩散方程为(3-19)如果S=0，即对于除中子源所在位置以外的无源区域，扩散方程具有如下的齐次形式(3-20)其中(3-21)L2具有长度平方的量纲，通常我们称L为中子的扩散长度，它是表征中子在介质中扩散特性的一个重要的量。方程(3-20)称为波动方程或亥姆霍兹方程，可以用数理方程中一些标准方法求得它的普遍解，然后再加进适当的边界条件，便可以求得所求问题的解。在表3.1中列出了在一些经常遇到的简单几何情况下波动方程的普遍解。下面我们讨论点中子源情况下扩散方程的解，它将帮助我们掌握扩散方程的求解和边界条件的应用。表3.1 在一些

10、几何形状情况下波动方程的解解 的 形 式一维平板Ae-Bx+CeBx或AshBx+CchBx球或一维圆柱注:J0(x),Y0(x)分别是第一类和第二类零阶贝塞尔函数；J0(x),K0(x)分别是第一类和第二类零阶修正贝塞尔函数。考虑在无限均匀介质内有一每秒各向同性地放出S个中子的点源情况。介质内的中子通量密度分布可以通过扩散方程的求解而得到。在这种情况下，采用球坐标系最为方便。如果把坐标原点取在点源的位置上，这时中子通量密度仅仅与离开源点的距离r有关。在这种球对称情况下的扩散方程为(3-22)我们可以看出，因为在原点处有中子源存在，所以这个方程在r=0处是不成立的。现在只讨论r>0的区域

11、。中子源对解的影响可通过源条件来加以考虑。围绕原点画一个半径为r的小球，小球的表面积为，于是通过小球表面的净中子数是，显然，当时，通过小球表面的净中子数就应当等于源强S0，这样，(3-22)式的边界条件可以表示为(i) 除r=0处以外，中子通量密度在各处均为有限值。(ii) 中子源条件：为了求解方便，引入一个新的变量,则(3-22)式可以化为方程的普遍解见表3.1为因此，式中A,C为两个待定常数，可以由边界条件确定。根据边界条件(i)，C必须为零，否则当r趋近于无限大时，便变为无限大。常数由中子源条件求出。由于因而根据中子源条件有由此求出最后解出中子通量密度为(3-23)从上式可以看出，中子通

12、量密度与源强S成正比。3.3 扩散长度一、扩散长度在扩散理论中有两个重要的物理参数：扩散系数和扩散长度。它们是确定中子在介质内扩散过程的重要参数。根据(3-21)式的定义,扩散长度为(3-24)或(3-25)这便是扩散长度的计算公式。对于混合物，则(3-25)式中的和都是指对混合物的平均值。表3.2给出了反应堆中常用的一些材料的热中子扩散参数数值。为了进一步阐明扩散长度的物理意义，我们讨论热中子从产生地点到被吸收地点穿行距离的均方值。考虑无限介质内点源情况，设为距离点源r处的中子通量密度，于是在r处对中子的吸收率是。如图3.4所示，取一个半径为r，厚度为dr的薄球壳层，球壳的体积是。在球壳内每秒被吸收的中子数是，所以，其均方值(空间二次距)可以表示成表3.2 几种常用慢化剂在20时的热中子扩散参数慢化剂密度(克/厘米3)扩散系数D(厘米)吸收截面(厘米-1)(厘米2)(厘米)H2O1.000.160.01978.12.85D2O1.100.872.9×10-53.0×104170Be1.850.501.04×10-348021BeO2.960.476.0×10-479028石墨1.600.842.4×