最值综合题几何全国各地中考数学压轴题几何大题题型分类汇编解析

1、2019全国各地中考数学压轴大题几何综合7、 最值综合题1.（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90°，C135°，E90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由解：（1）若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CFAE于F，S1ABBC6×530；若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF

2、AB交CD于F，FGAB于G，过点C作CHFG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，C135°，FCH45°，CHF为等腰直角三角形，AEFG6，HGBC5，BGCHFH，BGCHFHFGHG651，AGABBG615，S2AEAG6×530；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FMAB于M，FNAE于N，过点C作CGFM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，C135°，FCG45°，CGF为等腰直角三角形，MGBC5，BMCG，FGDG，设AMx，则BM6x，FMGM+FGGM+CGBC+BM11x，SAM

3、×FMx（11x）x2+11x（x5.5）2+30.25，当x5.5时，S的最大值为30.25 2.（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，ABa，BCb，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记kMN：EF（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k的值（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，MPE60°，MPEF3PE时，求a：b的值解：（1）如图1中，作EHBC于H，MQCD于Q，设EF交MN于点O四边形ABCD是正方形，FHAB，MQBC，ABCB，FHMQ，EFMN，EON90

4、6;，ECN90°，MNQ+CEO180°，FEH+CEO180°FEHMNQ，EHFMQN90°，FHEMQN（ASA），MNEF，kMN：EF1（2）a：b1：2，b2a，由题意：2aMNa，aEFa，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为（3）连接FN，MEk3，MPEF3PE，3，2，FPNEPM，PNFPME，2，MENF，设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m，如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合作FHBD于HMPEFPH60°，PH2m，FH2

5、m，DH10m，如图3中，当点N与C重合，作EHMN于H则PHm，HEm，HCPH+PC13m，tanHCE，MEFC，MEBFCBCFD，BD，MEBCFD，2，综上所述，a：b的值为或3.（2019益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动（1）当OAD30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求

6、此时cosOAD的值解：（1）如图1，过点C作CEy轴于点E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90°，又OAD+ADO90°，CDEOAD30°，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30°，ODAD3，点C的坐标为（2，3+2）；（2）M为AD的中点，DM3，SDCM6，又S四边形OMCD，SODM，SOAD9，设OAx、ODy，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3（负值舍去），OA3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，OM3，CM5，OCOM+CM8

7、，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N，CDMONM90°，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD4.（2019淮安）如图，在ABC中，ABAC3，BAC100°，D是BC的中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到BPE小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD

8、的右侧请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图所示BEP50°；连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是ECAB（2）请在图中画出BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值解：（1）如图中，BPE80°，PBPE，PEBPBE50°，结论：ABEC理由：ABAC，BDDC，ADBC，BDE90°，EBD90°50°40°，AE垂直平分线段BC，EBEC，ECBEBC40°，ABAC，BAC100&

9、#176;，ABCACB40°，ABCECB，ABEC故答案为50，ABEC（2）如图中，以P为圆心，PB为半径作PAD垂直平分线段BC，PBPC，BCEBPE40°，ABC40°，ABEC（3）如图中，作AHCE于H，点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值AB35.（2019巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M求证：DC是O的切线若AC4MC且AC8，求图中阴影部分的面积在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值

10、时，PH+PM的值最小，并求出最小值解：过点O作OGCD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分BCD，OHBC，OGCD，OHOG，OH、OG都为圆的半径，即DC是O的切线；AC4MC且AC8，OC2MC4，MCOM2，OH2，在直角三角形OHC中，HOCO，OCH30°，COH60°，HC，S阴影SOCHS扇形OHMCHOHOH22；作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，PMNP，PH+PMPH+PNHN，此时PH+PM最小，ONOMOH，MOH60°，MNH30°，MNHHCM，HN=HC=2，即：PH+PM的最小值为2，PD

11、=OP+OD=26.（2019河北）如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为m°AICn°，分别直接写出m，n的值解：（1）在ABC和ADE中，（如图1） ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x当ADBC时，APAB3最小，即PD633为PD的最大值（3）如图2，设BAP，则APC

12、+30°，ABACBAC90°，PCA60°，PAC90°，I为APC的内心AI、CI分别平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180°（IAC+ICA）180°（PAC+PCA）180°（90°+60°）+105°090°，105°+105°150°，即105°AIC150°，m105，n1507.（2019广州）如图，等边ABC中，AB6，点D在BC上，BD4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），CDE关于DE的轴对

13、称图形为FDE（1）当点F在AC上时，求证：DFAB；（2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时求AE的长解：（1）ABC是等边三角形ABC60°由折叠可知：DFDC，且点F在AC上DFCC60°DFCADFAB；（2）存在，过点D作DMAB交AB于点M，ABBC6，BD4，CD2DF2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，SABF最小，BD4，DMAB，ABC60°MD2SABF的最小值6×（22）66S最大值2×

14、3（66）36（3）如图，过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，CDE关于DE的轴对称图形为FDEDFDC2，EFDC60°GDEF，EFD60°FG1，DGFGBD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1BGEHBC，C60°CH，EHHCECGBDEBH，BGDBHE90°BGDBHEEC1AEACEC78.（2019南通）如图，矩形ABCD中，AB2，AD4E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当PEF的周长最小时，求的值；（3）连接B

15、P交EF于点M，当EMP45°时，求CP的长证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ADBCAEOCFO，EAOFCO，点A与点C关于EF所在的直线对称AOCO，ACEFAEOCFO，EAOFCO，AOCOAEOCFO（AAS）AECF，且AECF四边形AFCE是平行四边形，且ACEF四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时EFP的周长最小，四边形AFCE是菱形AFCFCEAE，AF2BF2+AB2，AF2（4AF）2+4，AFAECFDE点F，点H关于CD对称CFCHADBC（3）如

16、图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EHBC于H，交BP于点G，过点B作BOFN于点O，由（2）可知，AECF，BFDEEHBC，AABC90°四边形ABHE是矩形ABEH2，BHAEFH1EF，ADBCBFNAENBN3，NFAN5，NENN，BONA90°NBONEABO，NOEMPBMO45°，BOENOBMBMO45°BOMOMEENNOMOABEHBNMGEMEGGHEHEGEHCDBGHBPCCP9.（2019贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90°，将ABC绕点C顺时针方向旋转得到ABC，记旋转角为，当90°

17、180°时，作ADAC，垂足为D，AD与BC交于点E（1）如图1，当CAD15°时，作AEC的平分线EF交BC于点F写出旋转角的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值（结果保留根号）（1）解：旋转角为105°理由：如图1中，ADAC，ADC90°，CAD15°，ACD75°，ACA105°，旋转角为105°证明：连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CMCEDACE+CAE45°+15°60°，CEA120°，FE平分CEA，CEFFEA60°，FCO180°45°75°60°，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，COEFOA，COEFOA，FAOOEC60°，ACF是等边三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60°，CEM是等边三角形，ECM60°，CMCE，FCAMCE60°，FCMACE，FCMACE（ASA），FMAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如图2中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M由可知，EAFEAB75