兰州大学——数学物理方法期末试卷A

1、精选优质文档-倾情为你奉上数学物理方法常用的公式（注：仅供参考）：拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：；勒让德多项式的微分表示：勒让德-傅里叶级数展开：定义在的区间的至少分段光滑函数可以展开为广义傅里叶级数：其中，系数勒让德多项式的生成函数： 在球坐标下下的梯度表示得分一、（本题10分，每小题5分） （1）证明：，其中，为常矢量。 （2）计算矢量场的旋度。二、（本题10分，每小题5分) 将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位， （1）； （2）三、（本题10分)已知解析函数的实部，且满足，求该解析函数。四、（本题10分) 将函数以为中心的邻域内做洛朗级数展开。五、（本题10

2、分) 计算实变函数积分， 六、（本题10分) 设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所受阻力。试写出带有阻尼的弦振动方程。七、（本题10分) 将定解问题 的边界条件齐次化，设，并假设满足齐次边界条件，请写出关于的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）八、（本题15分) 求解定解问题的解 九、（本题15分) 在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。一、（本题10分，每小题5分） （

3、1）证明：，其中，为常矢量。 （2）计算矢量场的旋度。 （1）证明： （3分） （2分）（2）解： （3分） （2分）二、（本题10分，每小题5分) 将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位， （1）； （2）解：（1） 为整数 （3分） 当为偶数时， （1分） 当为奇数时， （1分） （2） （3分） （2分）三、（本题10分) 已知解析函数的实部，且满足，求该解析函数。 解：根据科西-黎曼条件：， （2分）所以有 （2分） （2分） 即有 所以 （2分） 由条件，可得 （1分） 所以有 （1分）四、（本题10分) 将函数以为中心的邻域内做洛朗级数展开。解： （3分） （7分） 五、（本题10

4、分) 计算实变函数积分， 解： 设，则有 （2分） 则原积分等于 （3分） 被积函数有两个极点 显然在单位圆外，在单位圆内，该点的留数为 （2分） （2分） 所以该定积分等于 （1分）六、（本题10分) 设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所受阻力。试写出带有阻尼的弦振动方程。解：建立坐标系，如图所示取弦的平衡位置为轴，且令端点坐标为与设是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移在弦上隔离出长为的一小段(弦元)弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点分析弦元受力：它在两个端点及处受到张力的作用因为

5、弦是完全柔软的，故只受到切向应力张力的作用，而没有法向应力。因此有： . （4分）小振动近似： 与两点间任一时刻横向位移之差与相比是一个小量，即 :在小振动近似下， 弦的横振动 这样，就有 (3分)于是， 即 （3分） 其中是弦的线密度(单位长度的质量)定义：，则有 一般情况下弦振动的加速度远远大于重力加速度，方程简化为 七、（本题10分) 将定解问题 的边界条件齐次化，设，并假设满足齐次边界条件，请写出关于的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）解：设，并令 则有 设，可得， 所以有 （5分） 把带入原有的定解方程中可得关于的定解问题为 （5分八、（本题15分) 求解

6、定解问题的解 解：设，并且代入方程可得 上式左右两边要相等只能等于同一常数，设为 则有 （4分） 由自然周期边条件，可得 解得，本征值，本征函数 其中 （3分）则有当时，有 解得由有限性条件可得所以 （2分）当时，方程的解为由有限性条件可得所以 （2分）综上所述 其中， （1分）由边界条件可得 解得， （2分）所以解得有 （1分）九、（本题15分) 在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。解：以球心为原点，方向为极轴方向取球坐标系，显然此问题关于极轴是对称的，当导体达到静电平衡时，导体是个等势体，导体表面是个等势面，为了考虑问题的方面，选取导体为电势零点，则有，根据题意可知在无穷远的处电势为球外各点没有电荷，满足拉普拉斯方程所以有定解问题为： （3分）由分离变量法，由于是轴对称问题，可令，代入式（1），可得方程的解为： （4） （3分）由边界条件（3）和根据勒让德函数为基的函数的广义傅立叶级数展开，对比系数可得： （3分）方程的解（4）变为： （5）