数学思想的渗透的范例教学微积分基本公式

1、微积分基本公式教学章节：定积分§5.2微积分基本公式教学目标：掌握微积分基本公式.教学要求：（1）学会用变限积分的方法构造所需函数； （3）能运用变限积分性质解决问题；（3）深刻体会牛顿-莱布尼兹公式。教学重点： 变限积分，牛顿-莱布尼兹公式.教学过程：引言定积分的计算，当目前为止我们只能由定义计算极限在知可积情况下按某一方式划分和选取后计算，再求极限。通常很难计算，即使在等分区间和选取边界点情况下亦是如此。例 在直线运动的速度为运动的路程为，注意到亦即是的一个原函数。由定积分的定义可知表示直线运动在时间段的位移，故亦即“该定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量”。 这具有

2、普遍性，从而许多定积分的计算就可以转化为不定积分的计算，而避免了计算恼人的注：这体现了数学的研究方法：观察-猜想-证明-应用。一变限积分（一） 变（上）限定积分 一般地，若函数在上可积, 则可定义上的一个函数称它为变上限的定积分，或变上限函数。可积函数用定积分的方法-变（上）限的定积分法可以构造函数：且例 ，则是以为曲边，以为底边的曲边梯形的“面积”。 显然（1）在有定义，且（2）当时当时当时。（3）在严格增，故有反函数。事实上用变下限的定积分法也可定义上的一个函数更一般的若在连续，且值域在内，则用变上下限的定积分法也可定义函数注：函数是微积分的研究对象，如何已知函数构造新函数是一个重要的问题

3、，之前我们有初等方法四则运算及符合的方法、极限的方法求导，今又有用积分变限的方法事实上也是极限的方法来构造函数。这是一个极为重要数学思想方法，而且按此方法函数获得了几何意义，体现分析与几何相互渗透。（二） 变限函数性质我们研究函数性质定理1 若函数在上连续,则变上限函数在可导，且它的导函数证明 取使得，则有，其中介于与与之间。由于可导，自然在上也连续。定理表明连续函数的原函数是存在的，就是其一个原函数。例函数由定理1可知是一个原函数，由不定积分可知形如，又由可知；又有反函数，故有几何意义：当如图曲边梯形面积为时，的取值。注：利用变限积分思想构造函数成功给出连续函数原函数的存在性，而且把定积分与

4、导数这两个完全不同的极限联系起来，体现数学对希望在不同事物之间建立联系的思想。例如又体现在积分中值定理亦是微分中值定理其中，且有。例1 设在内连续，且，证明在内为单调递增函数 。证明 ，其中，故在内为单调递增函数 。例2 设在上连续，且，试证至少存在一点使证明 法一 令，因在上连续，则在可导，且，故由罗尔定理知少存在一点使 即 （*）又，其中，故由（*）可得法二 令 则显然有、在可导，又故由Cauchy定理知至少存在一点使即二 牛顿-莱布尼兹公式定理2 （牛顿-莱布尼兹公式）设在上连续，是在上的任一个原函数，则证明 由定理1知也是在上的一个原函数，故从而有，故注：在未有牛顿-莱布尼兹公式之前要

5、计算像现在看来极为简单问题也耗费阿基米德这样天才的不少心血。而有牛顿-莱布尼兹公式后计算一大类定积分，转化为求的原函数，亦即求，而计算有一系列计算方法，体现数学对算法的追求，体现了人类智慧的荣耀，从而定积分中恼人的和式及极限运算。例 困难，现在 在牛顿-莱布尼兹公式之前，微分和积分是各自独立发展的，牛顿-莱布尼兹公式向我们展示微分学中微分的逆运算不定积分和积分学中的积分有如此紧密(这也是为什么我们把微分学中微分的逆运算称为不定积分的原因)，微分和积分不再各自发展而是统一在一起成为数学分析，体现了数学对事物内在联系和统一的追求。例3 计算 （1） （2），（3）， （4）。解（1）（2） （3）（4）利用牛顿-莱布尼兹公式公式我们可以获得变限函数的求导公式：设在上连续， 在可导，且值域在内，则可导，且特别地 ， 事实上设是一个原函数，则故例4 求 解 令则是连续函数，故即是型，故由洛必达法则可得例5 确定常数 的值, 使解 令则是连续函数，故其中介于0与之间，故有。从而又, 故，从而有。总结