数列提高题20120721

1、数列训练提高题【四区二模】如果无穷数列满足下列条件：；存在实数，使其中，那么我们称数列为数列（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，证明：数列，是数列；（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：【徐汇二模】如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用和表示

2、它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.【青浦一模】设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由【卢湾一模】已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期例如：数列， 可看作周期为1的数列； 数列， 可看作周期为2的

3、数列； 数列， 可看作周期为3的数列（1）对于数列，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式； （2）求数列的前项和； （3）在数列中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、均为实数，求该数列的一个通项公式【嘉定一模】定义，的“倒平均数”为（）已知数列前项的“倒平均数”为，记（）（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求【长宁一模】对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个

4、公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造：，求使对恒成立的的最小值.【杨浦二模】已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“生成数列”.（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.探究：数列是否为等差数列,并说明理由.【嘉定黄埔二模】对，定义函数，（1）求证：图像的右端点与图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上（2）若直线与函数，（，）的图像有且仅有一个公共点，试将表示成的函数（3）

5、对，在区间上定义函数，使得当（，且，）时，试研究关于的方程（，）的实数解的个数（这里的是（2）中的），并证明你的结论【2007上海理】如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和【2012文】对于项数为的有穷数列，记（），

6、即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（3）设，常数，若，是的控制数列，求【2012理】对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.【2012徐汇理】（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”所以也是该数列的项，且故 即.（2）设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数

7、列若，则即对数列中的任意一项同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”； 又因为数列所有项之和是，所以，即（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，所以则又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数为项， 则若则有，又，由此得，与矛盾； 若.由，得即，故，与矛盾综合得，不存在满足条件的数列.【青浦一模】（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列有两个，即3，4，1，2和3，4，2，1（2）存在数列的创新数列为等比数列设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以若为等比数列，设公比为，因为，所以7分当时，

8、为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式）；当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列综上符合条件的创新数列只有一个（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列， 设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以若为等差数列，设公差为，因为，所以且当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式），此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；当时， 又这与矛盾，所以此时不存在.综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）【卢湾一模】（1）或等（3分）（2）当时，；（5分）当时，；（7分）当时，（）（9分）（3）由题意，应有，得，（10分）

9、于是，把，代入上式得（12分）由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，（13分），于是，因为，所以，（14分）于是可求得（15分）故（）或写成（,）（16分）【嘉定一模】（1）设数列的前项和为，由题意得，所以，（1分）当时，当时，而也满足此式所以（）（1分）所以，（1分），因此（1分）（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，（2分）由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，（2分）解得或（1分）所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立（1分）（3）由，得，（1分） 若，则，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故此时，为，符合题意（1分） 若，则，因为

10、周期为，故，所以，即或，解得或，均不合题意（1分）设数列的前项和为，则对，有（1分）即 所以 因此【长宁一模】1）等，答案不唯一； （2），当时最小值为9, ，则,因此，时，最大值为6，所以，数列是数列的“下界数列”；（3）， 不等式为， 设，则， 当时，单调递增，时，取得最小值，因此， 的最小值为【杨浦二模】（1）解：由题意得： ；. （2）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 设数列的“生成数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以， 所以 ，其中.因此，数列即是数列. 证法二：因为 ，由于为偶

11、数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即，由于，根据“生成数列”的定义知，数列是的“生成数列”. （3）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“生成数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 12分由（2）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.对于数列及其“生成数列”，因为 ，由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即.设数列的“生成数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列. 即 是等差数列.所以 成等差数列. 【嘉定黄埔二模】（1）由得图像右端点的坐标

12、为，由得图像左端点的坐标为，故两端点重合并且对，这些点在直线上（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程在上有两个相等的实数根整理方程得，由，解得，此时方程的两个实数根，相等，由，得，因为，所以只能（，）（3）当时，可得，且单调递减当时，对于，总有，亦即直线与函数的图像总有两个不同的公共点（直线在直线与直线之间）对于函数来说，因为，所以方程有两个解：，此时方程（，）的实数解的个数为当时，因为，所以方程有两个解此时方程（）的实数解的个数为 综上，当，时，方程（，）的实数解的个数为 【2007上海理】（1）设的公差为，则，解得 ，数列为 （2），当时，取得最大值 的最大值为

13、626 （3）所有可能的“对称数列”是：； 对于，当时，当时， 对于，当时， 当时，对于，当时， 当时，对于，当时， 当时，【2012上海文】（1）数列为：2,3,4,5,1；2,3,4,5, 2；2,3,4,5, 3；2,3,4,5, 4；2,3,4,5, 5. （2）因为，所以. 6分因为，所以，即. 8分因此，. 10分（3）对，；.比较大小，可得. 12分因为，所以，即；，即.又，从而，. 15分因此=. 18分【2012上海理】（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.2分所以x=2b，从而x=4. 4分（2）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，故1X. 7分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为-1.若=-1，则2，矛盾；若=-1，则，矛盾.所以x1=1.10分（3）解法一猜测，i=1,2,n. 12分记，k=2, 3, ,n.先证明：若具有性质P，则也具有性质P.任取，、.当、中出现-1时，显然有满足；当且时，、1.因为具有性质P，所以有，、，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设且，则.由，得，与矛盾.所以.从而也具有性质P.15分现用数学归纳法证明：，i=1,2,n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k