数值分析习 题 六 解 答

1、习 题 六 解 答1、在区间0，1上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。(1)(2)解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为由初值y0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=2；x1=0.1，x2=0.2，指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。（2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为由初值y0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=0；x1=0.1，x2=0.2，指出：本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。解：(1) 取h=0.1，本初值

2、问题的欧拉公式具体形式为由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=1；x1=0.1，x2=0.2，(2)由预测校正公式，取h=0.1，本初值问题的预测校正公式的具体形式为由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=1；x1=0.1，x2=0.2，3、试导出解一阶常微分方程初值问题的隐式欧拉格式并估计其局部截断误差。解：在区间xn,xn+1上对常微分方程y /(x)=f(x,y)两端同时积分，得由右矩形公式得 所以有差分格式 这是所谓隐式欧拉公式。 对于隐式欧拉法假定yny(xn)，上式右边的yn1y(xn1)，则将y(xn1) 按泰勒公式展开，

3、上式为将y(xn1)按泰勒公式展开，得两式相减，得即所以，指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值积分方法是简单的方法。4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式准确成立，并说明理由。分析：本题所说的改进的欧拉法，是指梯形公式。在初值问题中，y是解函数。本题要证明的是，如果解函数是，则用梯形公式求出的数值解等于相应的解函数的函数值，而，即要证明。为了证明结论成立，先建立求解格式。注意，所以。解：因为所以。记，设改进的欧拉公式为将上式对i从0到n1求和并利用初值条件得则所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式准确成立。指出：通过累加，把递推关系变成了函数关系。5、对于初值问题试用（1）欧

4、拉法；（2）改进的欧拉法；（3）四阶经典龙格-库塔法分别求解，并比较之，取。解：（1）取，本初值问题的欧拉公式具体形式为由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=1；x1=0.2，x2=0.4，x2=0.6，（2）由预测校正公式，取，本初值问题的预测校正公式的具体形式为由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=1；x1=0.2，x2=0.4，(3) 四阶经典龙格库塔公式为在本题中，取，计算得6、用经典四阶龙格库塔方法求下列初值问题的数值解。（1）（2）解（1）四阶经典龙格库塔公式为在本题中，取，计算得i11.242 800 0001.727

5、548 20921.583 635 9202.742 051 29932.044 212 9134.049 181 35542.651 041 6525.829 210 72852.436 502 2737.996 012 1437、选取参数p、q，使得下列公式具有二阶精度。解：所以则而y(xi+1)泰勒展开得指出：显然，两个式子不能逐项对比。实际上，不形成递推而形成循环，本题应为错题。7*、选取参数p、q，使得下列公式具有二阶精度。解：因为则而y(xi+1)泰勒展开得比较上面两个关系式，如果三项相等，此方法是二阶数值方法，此时。8、用亚当姆斯预报校正系统求解初值问题取步长h=0.1计算。解：

6、四阶的亚当姆斯预测校正系统为解：将，代入预报校正系统得预报：校正：用龙格-库塔法先求出，再用亚当姆斯预测-校正法计算得i龙格-库塔法预测-校正法10.10.095 162 520.20.181 269 130.30.259 181 640.40.329 680 150.50.393 469 760.60.451 188 970.70.503 415 480.80.550 671 990.90.593 431 3101.00.632 121 6补充题（一）1、用欧拉公式求解初值问题当x取步长为h=0.02，用欧拉公式解初值问题0,0.02,0.04,0.10时的解。2、取步长为h=0.2，用欧拉

7、公式解初值问题。答 案1. 解：将代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：，（）取由初值y0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：用欧拉公式求解的计算结果001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96550.96600.000530.060.94891.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91000.92130.0113事实上，利用变量分离法，很容易求得该初值问题的准确解为：表中的第一列就是精确解在处的值。表示的局部截断误差，从表中可以看出，随着的增大，的值也在增大。所以，欧拉公式虽然计算简便，对一些问题有一定的使用价值，但是它的误差较大，所得的数值解精度较低。2. 解：将代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：取步长为h=0.2由初值y0=y(0)=