时定点定值问题

1、第3课时定点、定值问题,学生用书P164P165)_定点问题_(2014·高考山东卷节选)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|，当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标解(1)由题意知F(，0)设D(t，0)(t0)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2所以抛物线C的方程为y24x(2)由(1)知F(1，0)设A(x

2、0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)，故直线AB的斜率kAB因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b设E(xE，yE)，则yE，xE当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0)规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关

3、系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关1(2015·大庆市教学质量检测)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标解：(1)圆M的圆心为(3，1)，半径r由题意知A(0，1)，F(c，0)，直线AF的方程为y1，即xcyc0由直线AF与圆M相切，得，解得c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21(2)法一：由·0，知APAQ，从而直线AP与坐标轴

4、不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1联立，整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点P的坐标为(，)，同理，点Q的坐标为(，)，直线l的斜率为，直线l的方程为y(x)，即yx直线l过定点(0，)法二：由·0，知APAQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为ykxt(t1)，联立，整理得(13k2)x26ktx3(t21)0设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2(*)由(6kt)24(13k2)×3(t21)0，得3k2t21由·0，得·(x1，y11)·(x2，y21)(1k2)x

5、1x2k(t1)(x1x2)(t1)20将(*)代入，得t，直线l过定点(0，)_定值问题_(2014·高考江西卷)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值解(1)证明：依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28直线AO的方程为yx

6、；BD的方程为xx2解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2因此D点在定直线y2上(x0)(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y，得x24(axb)，即x24ax4b0由0，得(4a)216b0，化简整理得ba2故切线l的方程可写为yaxa2分别令y2，y2，得N1，N2的坐标为N1，N2，则|MN2|2|MN1|2428，即|MN2|2|MN1|2为定值8规律方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关引进变量法：其解题流

7、程为2(2015·长春市调研) 已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1，0)，点H(2，)在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)若点M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：PF2Q的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：(1)由题意，得，解得，椭圆方程为1(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1(|x1|3)，|PF2|2(x11)2y(x11)28(1)(x19)2，|PF2|(9x1)3x1连接OM，OP(图略)，由相切条件知：|PM|2|OP|2|OM|2xy8x8(1)8x，|PM|x1，|PF2|PM|3x

8、1x13，同理可求得|QF2|QM|3x2x23，|F2P|F2Q|PQ|336为定值_探究存在性问题_(2014·高考湖南卷)如图，O为坐标原点，双曲线C1：1(a10，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|？证明你的结论解(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22，2a12从而a11，c21因为点P在双曲线x21上，所以1故b3由椭圆的定义知2a22于是a2，bac2故C1，C2的方程分别为x21，1(

9、2)不存在符合题设条件的直线若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2，此时，|当x时，同理可知，|若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm由，得(3k2)x22kmxm230当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2由，得(2k23)x24kmx2m260因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0化简，得2k2m23，因此·x1x2y

10、1y20，于是222·222·，即|2|2，故|综合可知，不存在符合题设条件的直线规律方法存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在解决存在性问题应注意以下几点：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径3(2015·江西南昌模拟)已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y24x的焦点，离心率是(1)求椭圆E的方程；(2)过点C(1，0)的动直线与椭圆相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标是，求直线

11、AB的方程；在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)根据已知易知椭圆的焦点在x轴上，且a，又cea×，故b，故所求椭圆E的方程为1，即x23y25(2)依题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是，得，解得k±，适合所以直线AB的方程为xy10或xy10假设在x轴上存在点M(m，0)，使·为常数a当直线AB与x轴不垂直时，由知x1x2，x1x2所以&

12、#183;(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2将代入，整理得·m2m2m22m注意到·是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时·b当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(1，)，(1，)，当m时，也有·综上，在x轴上存在定点M(，0)，使·为常数1(2015·东北三校联合模拟)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，

13、且·16，求证：直线AB恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y所以E的方程为x28y(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b·x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0，4)2(2015·河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线E：x22py(p0)，直线ykx2与E交于A，B两点，且·2，其中O为原点(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0，2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，

14、k2，证明：kk2k2为定值解：(1)将ykx2代入x22py，得x22pkx4p0，其中4p2k216p0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，x1x24p·x1x2y1y2x1x2·4p42所以p，所以抛物线E的方程为x2y(2)证明：由(1)知，x1x2k，x1x22k1x1x2，同理k2x2x1，所以kk2k22(x1x2)22(x1x2)28x1x2163(2015·山西省四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得·0若存