数学建模电梯调度3

1、河南科技大学2010年数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

2、 所属学校（请填写完整的全名）： 河南科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 郭利朋 2. 何溪 3. 路春晓 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 8 月 29 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：河南科技大学2010年数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）高层办公楼电梯问题摘要本题对电梯运载问题进行动态规划，以提高电梯在规定时间内的运载能力，达到经济、高效的效果。对于问题一，先

3、表达出电梯运行周期所包含的5个部分，然后求出电梯运载站数的期望，和实际所停最高楼数的期望。最后，求得电梯运行一周所需要的时间：。接着，根据实际情况将6部电梯分成3组进行求解，从4个方案中求出40分钟内运载能力最高的方案。经检验可得，当三组分别负责2-12，13-22，23-30层时，运载能力最高为：38.2%。对于问题二，有两个限制条件：40分钟内运完所有办公人员；花费时间最短。同时，电梯的建造成本要尽量低。分别对不同电梯的运行情况以及它们到达各楼层的时间进行分析，列出限制条件，得出目标函数为Min 。最终求得，当三个分组分别为：2-12、13-21、22-30层，运送的电梯速度分别为：243

4、.8 mmin、243.8 mmin、304.8mmin时，能满足所有约束条件且运送效率最高，成本较低。关键字：运载能力 动态规划 分层 期望 问题重述商用写字楼在早上8：20到9：00这40分钟里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常碰到再分钟就迟到但电梯等了好长时间还没来的情况，。所以，公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。除一楼外的各层办公人数：楼层楼层楼层人数楼层人数楼层人数12345678 208 177 222 130 181 191 236910111213141516236139272272272270300264171819202l2223242002

5、00200200207207207207252627282930205205140136132132第一层楼高7.62米，其它各层间楼高3.91米；电梯以1.22的加速度由0增加到5.08；电梯容量19人，每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10；底楼最大允许等待时间最好不超过1分钟。问题一：假如现有6部电梯，请设计一个电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。问题二：如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少

6、的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8 mmin，304.8 mmin，365.8mmin）。问题分析问题一的分析：问题一要求合理分配6部电梯，使各层人流快速送到，减少侯梯时间。用之前的6部电梯同时负责30个楼层的运输，则每部电梯都要上升到顶层，且很可能每部电梯在每一层都要停靠，根据计算，这样电梯不能达到最大速度，而且运行路线太长，显然造成时间、金钱上的很大的浪费，必须改进。然后，考虑将6部电梯平均分配，各负责相应几层的运

7、输，但由于负责的楼层高度不同，且每层的人数不同，这样单纯的平均显然不合理。最后，确定以下方案：两部电梯联合负责相邻几层楼的运输，两部电梯交替出发，楼层数从下往上递减，总的目标是40分钟内尽可能多的运输全部工作人员。 问题二的分析：问题二要求重新安装改造电梯，使在满足运行要求的基础上安装成本最小，这是一个最优化问题。在第一问的基础上继续将电梯分为三组，但第一问中下面几层的运输中电梯无法达到最大速度，从而造成了资源的浪费，因此，重新规划时考虑给三组分别配备不同速度的电梯，从而节省资源。另外，由限制条件确定每组电梯的部数。 模型假设（1） 所有工作人员都从一楼出发，不考虑从其它楼层进入电梯；（2）

8、单位时间到达大厅的人中各层所占的人数与各层人数的比例相同；（3） 电梯减速时的加速度也为1.22；（4） 每次电梯都以满载19人从一楼向上运输；（5） 每个乘客在每层下的概率相等；（6） 不考虑楼梯对人流运输的影响。符号约定：电梯每次运载的人数，取值19；：乘客上下楼梯平均时间，分别取值0.8、0.5；：第一层楼高度，取值7.62；：除第一层外其它各层的高度，取值3.91；：电梯开关门时间，取值3；：电梯中间停靠次数；：电梯实际到达的最高层；：电梯停靠位置，取1、230；：电梯运行路程s所需时间；：电梯运载区间的最低层，取16；：电梯运载区间的最高层，取16；：电梯服务的总层数，取16；：第i

9、组电梯的个数；：第层的办公人数，取130。模型的建立与求解问题一的建立与求解：考虑到电梯运行中加速度与减速度对称性，得到电梯运动位移与时间之间的关系为：其中，为电梯的加速度。电梯的运行周期包括以下五部分：（1）、工作人员上下电梯的时间：（2）、电梯开关门时间：（）表示次停靠的开关门以及在一楼大厅的开关门时间。（3）、电梯到第一个停靠点所需时间：（4）、电梯在各停靠点之间的运行时间：（5）、电梯返回一楼所需时间：加上其它损失时间，运行的周期为：在实际计算运行周期时，用电梯实际停的站数和实际到达的最高楼的数学期望和表示。其推到过程如下：的推导过程由假设可知，任一乘客在任一层楼下的概率：对于个乘客，

10、则至少有一个在第层下的概率为：所以的推导过程设任一乘客在第站之前下电梯的概率为：所有乘客在第站之前下电梯的概率为：所以又有关系式：综上可得，电梯的运行周期：为每层的办公人数，则求得最优解为满足条件所有的电梯同时将人运完，电梯总共有六个，当电梯均分为 e组时，可得约束条件:e可以取2、3、6。经过多重运算，分三组的时候效率比较高，取e=3。得一下四组方案，计算各组方案的运行周期、时间间隔及运载能力如下：方案组数电梯个数服务楼层运行周期时间间隔运送量方案一122-12116.1158.0538.2%2213-22116.8558.433223-30129.0764.53方案二122-13122.3

11、661.1836.86%2214-23128.3964.193224-30123.7361.86方案三122-12116.1158.0537.11%2213-23133.1966.603224-30123.7361.87方案四122-14128.4764.2436.75%2215-23123.4361.713224-30123.7361.86由表格数据可以看出选第一种方案最好。求解期望及周期的程序分别见附表一、二。从数据来看，由于所给电梯只有六个，数目比较少，不可能在上班之前完成运载任务，也不可能让顾客的等待时间小于一分钟，这种调度方案并不能够解决问题。在第二问中进行修正求解。问题二的建立与求

12、解：问题二的求解与第一问相似，但为避免问题一中在较低楼层运输时电梯一直无法达到最高速度的现象，拟在较低楼层中使用低速电梯，而对较高楼层，为减少办公人员等待时间，提高电梯效率，拟采用高速电梯。先对三种电梯运行情况进行分析：（1）慢速电梯：最大速度 v1max=4.06m/s；到达最大速度时，上升的高度h1=6.76m达到最大速度所需时间t1=3.3s（2）中速电梯：最大速度 v2max=5.08m/s；到达最大速度时，上升的高度h2=10.6m达到最大速度所需时间t2=4.16s（3）快速电梯：最大速度 v3max=6.09m/s；到达最大速度时，上升的高度h3=15.2m达到最大速度所需时间t

13、3=4.99s电梯正常运行的最大速度为vmax。电梯运行高度为h，每层楼的高度为h，加速阶段的运行距离为 h0=，则当，电梯需要以运行，总时间为：当，电梯速度不可能达到，此时最大速度为，总时间为：。现计算规格i电梯将办公人员送到第j层所需的时间：规格i 层数j 慢速电梯中速电梯高速电梯240.6541.2142.16342.6742.8343.50444.7044.4444.86546.7246.0646.20648.7447.6847.55750.7649.2948.90852.7950.9050.25954.8052.5251.601056.8354.1452.941158.8555.76

14、54.291260.8857.3755.641362.9058.9956.991464.9260.6058.341566.9462.2259.691668.9763.8361.031770.9965.4662.381873.0167.0763.731975.0368.6965.082077.0570.3066.432179.0771.9267.782281.1073.5469.122383.1275.1570.472485.1576.7771.822587.1778.3973.172689.1980.0074.522791.2181.6275.872893.2383.2377.212995.2

15、684.8578.563097.2886.4779.91平均值68.9663.8461.03分析以上数据，对约束条件进行一定的变化，每组电梯用同一种型号。依然将楼层分为三组，修改如下：要在40分钟内完成运载任务：等待时间小于一分钟：电梯共有三种型号，设每组电梯所用的型号为：，费用分别为目标函数为Min 最终，经软件辅助分析及对比取舍得最佳运送方案如下：组数电梯个数速度服务楼层运行周期时间间隔运送量18243.82-12146.8218.35100%28243.813-21158.8519.8636304.822-30170.0728.35求解程序见附录。模型评价与改进这个模型的目的是求最优解，

16、属于线性规划问题。第一问中严密的推导了电梯运行的周期，并对多种分组方式进行了分析，运用总时间最小的原理，比较合理的提出了一个电梯的运载方案，但在分组方式中还有一定的局限性，平均分组的方法虽然简单，但却不够全面，需要对六个电梯进行全面的分组讨论，才能真正得到最优解。第二问中，问题的求解很好，也充分满足了限制条件，但是楼层的分组方法还有待改进。参考文献1 寿纪麟等.数学模型与方法.西安交通大学出版社.19932 朱思铭、李尚廉等.数学模型.中山大学出版社.19953 姜启源.数学模型.高等教育出版社.20034 吴翔、吴孟达等.数学模型的理论与实践.国防科技大学出版社.19995 贾玉心.概率论与

17、随机过程.中国科学技术出版社.2005附录附表一，期望程序：#include"stdio.h"#include"math.h"#define r 19void main() int n,j;double E1,E2,k;k=0;scanf("%d",&n);E1=n*(1-pow(1-1.0/n,r);for(j=1;j<n;j+)k=k+pow(j*1.0/n,r);E2=n-k;printf("E1=%7.4fnE2=%7.4fn",E1,E2);附表二，周期程序：#include"st

18、dio.h"#include"math.h"#define r 19#define a 0.8#define b 0.5#define c 1.22#define h1 7.62#define h 3.91#define d 3#define v 5.08float t(float s)float t;if(s>pow(v,2)/c) t=v/c+s/v;else t=2.0*sqrt(s/c);return t;void main() int n,s1;float E1,E2,y;scanf("%d,%d,%f,%f",&n,&

19、amp;s1,&E1,&E2);y=1.1*(r*(a+b)+d*(n+1)+t(h1+h*(s1+E2-2-E1)+(E1-1)*t(h)+t(h1+h*(s1+E2-3);printf("E1=%fnE2=%fny=%fn",E1,E2,y);附表三：model:sets: Time/1 2 3/:T;endsetsdata: v=5.08;a=1.22;h0=3.91;h1=7.62;enddatamin=v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+(30-L3)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(28*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(3

20、1-L3);2*sqrt(h1/a)+(L2-2)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L2-1)<2*60;v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+(L3-L2-1)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L3-L2-1)<2*60;v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+(30-L3)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(28*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(31-L3)<2*60;L2<L3;L2<30;L3<=30;1

21、9*2400*(1/(2*sqrt(h1/a)+(L2-2)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L2-1)+1/(v/a+(L2-2)*h0+h1)/v+(L3-L2-1)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(L3-L2-1)+1/(v/a+(L3-2)*h0+h1)/v+(30-L3)*2*sqrt(h0/a)+v/a+(28*h0+h1)/v+1.1*(19*1.3+3*(31-L3)>5948;End附表四：#include"stdio.h"

22、#include"math.h"#define r 19#define a 0.8#define b 0.5#define h1 7.62#define h 3.91#define d 3#define v 5.08int A1,A2,A3,A4,A5,A6;double E(int N) /*E(n)*/ double E1;E1=N*(1-pow(1-1/N,r);return E1;double ci(int p,int q) int m=0;int i;int B29=208,177,222,130,181,191,236,236,139,272,272,272,270,300,264,200,200,200,200