数列数学归纳法数列极限

1、数列、数学归纳法、数列极限松江四中 朱成兵第一部分数列一、知识点：1等差数列的通项公式： 推广：；等比数列的通项公式： 推广：2等差数列的前项和公式： ，；等比数列的前项和公式： ，3等差数列中，若，则；等比数列中，若，则4两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列；两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列、仍为等比数列。5等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列；等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。6若为等差数列，则是等比数列；若是等比数列，则是等差数列。7等差数列中，当时，是关于的一次式：；当时，是一个常数：。8等差数列前项和公式：当时，是关于的二次式且常数项为0，即；当时，

2、是关于的正比例式；等比数列的前项和公式：当时，是关于的正比例式。9等差数列的任意连续项的和构成的数列、仍为等差数列；等比数列的任意连续项的和构成的数列、仍为等比数列。10数列的通项与前项和的关系：二、专题复习：专题一 基本量法根据等差（比）数列的定义，它由首项和公差（比）所确定，因此首项和公差（比）是等差（比）数列的基本量，解决等差（比）数列的问题可以把问题中的其它量转化为求基本量首项和公差（比），使求解的数列问题转化为求首项和公差（或公比）的等式或不等式问题。例题1.是等差数列，且，求的值。解法一：（基本量法） 得解法二：，又， 而。注意：在解答等差数列或等比数列的有关问题时，“基本量法”是

3、常用方法，但不一定是最好的方法。不过，对于条件不复杂的问题，“基本量法”是够用的。专题二方程思想在等差数列中，有五个量，它们是项数、首项、通项、公差及前项和。基本公式有三个：； ；。在等比数列中，也有五个量，它们是项数、首项、通项、公比及前项和。基本公式也有三个：； ； 每个公式中含有四个量，一般情况下，在五个量中知道了其中的三个量，通过求代数式的值或解方程、方程组可以求出其他两个量。这种解法称为“知三求二法”，它渗透了方程的思想方法。例题1.在等比数列中，求和。解：专题三函数思想由于数列可以看作定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，因此数列和函数之间有着密切的联系，许多数列问题可以用函数

4、的方法来处理，通过研究函数的性质（如函数的单调性、最大值和最小值等）来解决有关的数列问题。特别地，对于等差数列有：（1）等差数列 （2）等差数列（3）时，递增；时，为常数列；时，递减。例题1.在等差数列中，若，且，问数列前多少项之和最大？解法一：根据等差数列的性质，公差不为0的等差数列，其前项和是的二次函数（其中常数项为0）。设，因为，故此二次函数对称轴，且由可得，所以。因此，该数列前13项之和最大。解法二：由得，又，故，因为，所以该等差数列单调递减且正数项有限，令，又因为，故。解法三：由得，又，故。这是关于正整数的二次函数且开口向下，所以当时，最大。解法四：因为，所以即，则，所以，而，由于等

5、差数列可以看成是关于正整数的单调函数，所以，因此前13项之和最大。专题四类比思想等差数列与等比数列在定义、通项公式、递推公式以及其他一些相关的性质和解题方法上，都有类比之处。例题1.2000年高考第12题 “在等差数列中，若,则有等式：成立，类似上述性质，相应地：在等比数列中，若则有等式成立”。答案：。练习：1（1）已知：等差数列的前项和记为，且，求证：；（2）类比（1），在等比数列中，你能够得出什么结论？并证明你得出来的结论。解答：（1）证明：在等差数列中，设是其前项的和，因为、成等差数列，所以，即。（2）类比猜测：等比数列的前项积记为，且，则证明：在等比数列中，设是其前项的积，因为、成等比

6、数列，所以即。练习：2（1）已知是等差数列，且、，求证：。 （2）类比猜测正项等比数列中相应的命题并加以证明。证明：（1），=（2）类比猜测：已知为等比数列，且，且、，则证明。专题五分类思想在运用等比数列的前项和公式时，要注意按公比和分类讨论；在已知求时，应先分和两种情况分别运算，然后验证能否统一。例题1.已知为等比数列，且，求与的值。解答：（1）当时，故。 （2）当时， 两式相除得。综上所述或练习：已知为等比数列的前项和，且，求。答案：76 例题2.已知数列的前项和，则通项= 解答：（1）当时， （2）当且，由于时， 所以，追问：若数列的前项和为，则这个数列一定是 B A 等差数列， B 非

7、等差数列 C 常数列 D 等差数列或常数列练习：1已知数列的前项和，则通项= 2若数列的前项和为，则2解答：（1）时， （2）且时，由于时，因此，专题六化归思想有意识加强化归的思想方法的运用，将非等差数列、非等比数列化归为等差数列、等比数列，使原问题得以解决。例题1：在数列中，（），求。解：得：，从而，即， 数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，得。例题2：在数列中，（），求。解：由得：，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，即，例题3：在数列中，（），求。解：由，可设，即，对比系数，于是是以2为首项，以2为公比的等比数列。，得到形如的数列可构造等比数列，从而求出通项。专题七 求通项公

8、式（一）由递推公式求通项递推数列求通项的常用方法有：累加法、累乘法、构造新数列法累加法：例题1：在数列中，（），求。解：由知：得到：累加得：即 注意：形如的数列可通过累加法求通项。累乘法：例题2：在数列中，（），求。解：由知： 得到： ， ， ， ， 累乘得：， ，即注意：形如的数列可通过累乘法求通项。构造新数列法：例题3：在数列中，（），求。例题4：在数列中，（），求。例题5：在数列中，（），求。例题3、4、5的解答过程见专题六化归思想的例题1、2、3（二）由前项和求通项例1.已知数列的前项和，求通项。解：（1）时， （2）且时，由于时，因此，练习：已知数列的前项和，求通项。答案：例2.已知

9、数列的前项和为，且，求数列的通项公式。分析：已知与间的递推关系一般利用，将问题转化为与间的递推关系或与间的递推关系，再利用变形构造常见数列求通项。解： （1） （2）得：，即，得为以为首项，以为公比的等比数列。因此，专题八 数列求和数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。（一）、分组求和法：例题1.求和：解：=+=形如的数列可以化归为等差、等比数列求和（二）、倒序相加法：例题2.设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求的值。（03上海春考题）解：设 （1）则 （2）易证明（1）+（2）得得，即注意：此题型特征：与首末两端等距离

10、的两项间的关系有一定的规律（相等或和相等等）倒序相加法可应用于解决函数、三角、立体几何和组合等方面的问题。练习：1.求和： 答案：2.求和： 答案：（三）、错位相减法求和：例题3. 已知数列是等差数列，且，（03年高考北京）（1）求数列的通项公式；（2）令，（）求数列的前项和的公式。解：（1）易得：，（2） ， 设即当时，两式错位相减，得当时，综合可得注意：当一个数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到的可以利用乘公比错位相减法。练习：若，求数列的前项和的公式。（四）、裂项法求和：例题4.已知，求数列的前项和的公式。解：其题型特征：数列中的每一项都能拆成相邻两项的差的形式。（五）、

11、含绝对值的求和例题5.设数列的通项为，求值：（01年上海理2）.解：时，；时，设的前项和为；设的前项和为。 =（）+（） =+ =58练习：数列满足，求数列的前项和为。答案：专题九 应用性问题例题1（03春22）在一次人才招聘会上，有两家公司分别开出了它们的工资标准：公司允诺第一个月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5，设某人年初被两家公司同时录取.试问：(1) 若该人分别在公司或公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少？(2) 若该人连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为

12、应聘的标准（不记其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？(3) 在公司工作比在公司工作的月工资收入最多可以多多少元?（精确到1元），并说明理由.解答:（1）an1500230·（n1），2000（15）n1，（nN）；（2）选择A公司；（3）当n19时，anbn取得最大值约为827元.例题2（05年20）假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一

13、年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解答:(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知an>0.85 bn,有250

14、+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.专题十 探究性学习例题1.（06春22）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 解法：（1）. （2）， 当时

15、，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等。第二部分 数学归纳法一、知识点：数学归纳法的一般步骤是：（1） 当取第一个值时，命题成立； （2）假设当时，命题成立，证明当时命题也成立。根据（1）和（2）可以断定，命题对任何都成立。二、典型例题：例题1.欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数，总有”则所取的第一个值，最小应是。答案：10例题2（07理15）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下

16、列命题总成立的是（）若成立，则当时，均有成立若成立，则当时，均有成立若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 解答：因为若成立，则当时，均有成立，所以错；因为若成立，则当时，均有成立，所以错；原命题的逆否命题为：设是定义在正整数集上的函数，且满足：当不成立时，总可推出不成立。因此，若不成立，则当时，均有不成立，显然也是错误的。因为若成立，则当时，均有成立，故对。练习：1.某个命题与正整数有关，如果当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立。现在已知时该命题不成立，那么可推得（ ）答案：CA 当时该命题不成立 B当时该命题成立C当时该命题不成立 D当时该命题成立2如果命题对成立，则它对

17、也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（ ）。答案：A 对所有的正整数都成立 B对所有的正偶数都成立C对所有的正奇数都成立 D对所有大于1的正整数都成立例题3:用数学归纳法证明:,从“到”时，左边应增添的因式是（ ）A B C D 答案：B练习：设，则A B C D 答案：D例题4.计算前几项：等各项的值，可以猜想：解答：，猜想：例题5：已知数列的各项均为正数，且满足，猜测并证明数列的通项公式。解答：，猜测，证明：（1）当时，等式成立；（2） 假设当时，等式成立，即，那么当时，等式也成立。根据（1）和（2）可以断定，等式对任何都成立。练习：是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立，并证明你的结

18、论。答案：此题为1989年全国卷高考题，证明（略）第三部分数列的极限一、知识点：（一）定义：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的无限趋近于一个常数，那么叫做数列的极限，或叫做数列收敛于。记作，读作“趋向于无穷大时，的极限等于”。（二）常用数列的极限：（1）当时，；（2）（3），（为常数）（三）四则运算法则：如果，那么（1）（2）（3）（四）无穷等比数列的各项的和：把的无穷等比数列的前项和当时的极限叫做无穷等比数列的各项的和，并用符号表示，即二、典型例题：例题1.数列中，则数列的极限值（B）等于等于等于或不存在注意：此题为07年文科第14题，数列的极限跟前面的有限项无关。例题2.判断

19、下面命题的真假，并说明理由。在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的越来越接近于某个常数，那么是数列的极限。解答：不正确，因为“无限趋近于”的说法不能用“越来越接近于”代替。反例中的随着的无限增大越来越接近于0，但不能够无限趋近于0。即，事实上，例题3.计算：（1）（06春1），（2）（06文4）。解答：（1）；（2）注意：在无限增大的变化过程中，分子、分母都无限增大，而在分子、分母趋于无穷大的过程中，起决定作用的量分别是的次数的最高项，而其他的项对极限值没有影响。练习：1.（07年春1）计算。答案：2.（00春7）若数列的通项为,求值：。答案： 3.若，求的值。答案： 4.（06理4）计算：。答案：5.（04春7）在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则=_。解答：，例题4.（课本P43，No.2）判断下列计算是否正确，并说明理由：解：上述计算正确。也可以这样计算如下：例题5.（课本P43.例4）计算：解：原式=注意：例题5括号中的项数不是有限的，不能直接用和的极限的性质，应先求出括号内项的和，使其