集体备课资料集--三角函数1

1、内容 任意角和弧度制，任意角的三角函数 项目具体内容：任意角和弧度制，任意角的三角函数修改意见教学目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。掌握任意角的三角函数的定义能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方

2、法。教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明正弦、余弦、正切线的概念。任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。同角三角函数的基本关系式教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写“角度制”与“弧度制”的区别与联系正弦、余弦、正切线的利用。利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.三角函数

3、值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用易错点过程设计设计意图修改意见1角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形始边终边顶点AOB角的名称：角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0°；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，

4、我们就说这个角是第几象限角例1如图中的角分别属于第几象限角？B1yOx45°B2OxB3y30°60o例2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角 60°； 120°； 240°； 300°； 420°； 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k·360 ° ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终

5、边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； 角 + k·720 °与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例3在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角120°；640 °；950°12答：240°,第三象限角；280°,第四象限角；129°48,第二象限角；例4写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) 解: | = 90°+ n·180°,nZ例5写出终边在上的角的集合S,并把S中

6、适合不等式360°720°的元素写出来1.1.2弧度制（一）1引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？2定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，常常将rad单位省略3思考：（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角

7、的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|=4角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：； ；将弧度化为角度：；5常规写法： 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度07弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积例1把67°30化成弧度例2把化成度例3计算：；例4将下列各角化成0到2

8、的角加上2k（kZ）的形式：；例5将下列各角化成2k + (kZ,02)的形式,并确定其所在的象限； 证法一:圆的面积为,圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R, 扇形的圆心角大小为rad, 扇形面积证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多4-1.2.1任意角的三角函数（三）当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反

9、时为负。有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向

10、与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4例题分析：例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3）； （4）解：图略。例2. 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 答案：（1）；（2）4-1.2.1任意角的三角函数（1）1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，

11、记作，即；说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。函 数定 义 域值 域2三角函数的定义域、值域注意：(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2) 是任意角，射线OP是角的终

12、边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的

13、一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3例题分析例1求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）； （2）； （3） 解：（1）因为当时，所以， ， ， 不存在。（2）因为当时，所以， ， ， 不存在，（3）因为当时，所以， ， 不存在， ，例2已知角的终边经过点，求的四个函数值。解：因为，所以，于是； ； 例3已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解：因为过点，所以， 当；当； 4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第

14、一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习： 确定下列三角函数值的符号：（1）； （2）； （3）； （4）例4求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，其中，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题例5求下列三角函数的值：（1）， （2），例6求函数的值域解： 定义域：cosx¹0 x的终边不在x轴上

15、 又tanx¹0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 , |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=04-1.2.2同角三角函数的基本关系（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系：说明：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ，

16、 等。2例题分析：一、求值问题例1（1）已知，并且是第二象限角，求（2）已知，求解：（1）， 又是第二象限角， ，即有，从而， （2）， ，又， 在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2已知为非零实数，用表示解：，即有，又为非零实数，为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而， ；当在第二、三象限时，即有，从而， 例3、已知，求 解： 强调（指出）技巧：1° 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；2° “化1法”可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简练习1化简解：原式练习2三、