初中数学竞赛——矩形和菱形

1、精选优质文档-倾情为你奉上第2讲 矩形和菱形知识总结归纳一. 矩形的定义：定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形，矩形也是我们通常所称的长方形二. 矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质（2）矩形的对角线相等（3）矩形的四个角都是直角（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴三. 矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形四. 直角三角形的一条重要性质：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 （2）性质可以用来解决有关线段倍分的问题五. 菱形的定义：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形六. 菱形的性质

2、：（1）菱形具有平行四边形的所有性质 （2）菱形的四条边相等（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角七. 菱形的判定：（1）由定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）由对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）由边的关系判定：四条边相等的四边形是菱形典型例题一. 矩形【例1】 已知矩形的对角线长为，周长为，求这个矩形的面积ODCBA【例2】 如图，在矩形中，对角线、交于，且，求的长【例3】 如图，在中，为中点，四边形是平行四边形求证：四边形是矩形EDCBA【例4】 如图，矩形的对角线、相交于点，、分别是、的中点，试说明：四边形是矩形ODCABHGFE【例5

3、】 如图，在中，、分别是与的外角的平分线，求证：EDCBAF【例6】 如图，在矩形中，若将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，求的长CDFEBA【例7】 如图，折叠矩形的边，使点落在上的点处，折痕为，若，求的长EDCBAFFDCBAGE【例8】 如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，延长交于点，若，求的长二. 直角三角形的斜边中线【例9】 如图，已知平行四边形，、相交于点，是平行四边形外一点，且求证：平行四边形是矩形 ODCBAP【例10】 如图，平行四边形ABCD中，DEAB于E，BM=MC=DC求证：EMC=3BEM【例11】 如图，在中，平分，垂足为，交于点求证：EDCBAENCBAD【

4、例12】 如图，的边的中点为，过的任一直线与，于求证：【例13】 如图，分别以的、边为腰，、为直角顶点，作等腰直角和等腰直角，为中点，求证： BAEDCM【例14】 如图，已知五边形中，为的中点，求证：BMDCEA三. 菱形【例15】 如图，菱形中，、分别是、的中点，连、，求的周长FDBCAEOCBAD【例16】 如图所示，在菱形中，与交于，求菱形的面积【例17】 如图，是菱形对角线上一点，于点，则点到的距离是多少？EDCBAP【例18】 如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放到一起，重合的四边形是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由DCBA【例19】 如图，在中，经过对角线的交点

5、，且分别交、于、试说明四边形是菱形 OFEBCDA 【例20】 如图，在中，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形EHBDCAF【例21】 如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点,使，连（1）求证：；（2）若，求的大小CDEBA【例22】 如图，在菱形中，为上一点，交于求证：FBADCE【例23】 延长菱形一边至，使，在上，且，又，交对角线于，求证：。EDGFHCBA思维飞跃【例24】 设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3个点的距离之和都相等试判断这个四边形是什么四边形？请证明你的结论【例25】 已知，中，是中点，于求证：MDCBA【例26】 如图所示，矩形内一点

6、到、的长分别是、，求的长 EAFDCB【例27】 如图，已知矩形中，于点，延长，与的平分线相交于点，求证：CBADPNM【例28】 如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点、分别是、边的中点，的最小值是多少？【例29】 如图，在矩形中，为的延长线上一点，且，为的中点求证：DCEBAF【例30】 如图，在中，为的中点，交（或延长线）于求证：FCBDAE作业ODCBA1. 如图，在中，、相交于点，且使等边三角形，边长为，求的长EDCBAF2. 如图，在矩形中，若将矩形折叠，使点与点重合，求折痕的长3. 如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积是，求的值 FDEBAC4. 能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A对角线互相平分且相等 B对角线互相垂直且相等C对角线互相垂直且对角相等D对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角5. 已知菱形周长为，一条对角线长为，求菱形的面积6. 中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点,求证：PMPN7. 如图，在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，连、（1）求证：（2）若，求证：四边形是菱形CBAFDEGABDECF8. 已知：锐角三角形中，、是两条高，、分别是、的中点，求证：垂直平分9. 如