向量法解题孙居国—研课稿

1、向 量 法 解 立 体 几 何 题（南京师大附中）师：请每位同学先画一个正方体(教师在黑板上画)。都画好了吧。(130)今天我们来看这样一个问题：(读题，板书方框中文字。) (247)在棱长为1的正方体中，棱长为1，E、F分别是A1D、AC上的点，并且=，=。问题：当为何值时，EF/D1B；EF与AC有何关系；证明EF/面 D1DCC1_O_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D(309)第1题，大家看看，大概多少？多少？××(322) 生：我想为。师：你想为，你怎么想的呢？生：直觉。师：直觉，感觉一下，为。为时，能不能证明这两条线平行呢？你们得出一个结论，

2、为时，EF平行D1B。×× 生：连接D1E，并且延长交AD于P。师：连接什么，D1E，交于一点P。(画图)生：然后连接BP，就可以构成一个平面。_O_P_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D师：你就是假如，F点就在这个位置的时候(即F在BP上)，那么AF比上AC是不是。 生：是。 师：是，根据比例的关系。那么等于的时候，D1B与EF是否平行呢？你来证明。生：因为PF: FB=AF: FC。师：这个比这个等于多少？PE:PD1？生：1:3。师：那么PF:PB？ 生：也是1:3。师：根据比例关系得到EF和D1B这两条线平行，是不是啊。(540)前面我们学习了用

3、向量的办法来解决问题，刚才××同学用这种办法证明了，我们来看看怎么用向量的办法来证明：为时，这两条线平行。(擦去PD1和PB)想一下，我们怎么用向量办法解决问题。××，你想一下怎么用向量的办法来证明D1B与EF平行？ 生：先找一组基底。师：先找一组基底，是不是啊。你找哪一组基底？ 生：为。师：为。(标出) 生：为。师：好,为。(标出) 生：为。师：好，为。(标出)通常我们选择不共面的三个向量作为空间向量的一组基底，然后其它所有的都可以通过这组基底来表示，是不是啊。建立好了，然后呢？问题含义的理解(问题是什么？)当 为何值时，EFD1B？ Û求使

4、EFD1B的的值。 Û如果EFD1B，的值是多少? Û已知EFD1B，求。 假设= ，是否EFD1B？ Û已知=，求证EFD1B。Û当=时， EF和D1B是什么位置关系？这个问题肯定不是原问题，因为原题中没有=这个条件。原命题中求, 显然是未知量, EFD1B是已知条件；而在假设命题中正好颠倒过来了,成了要求证的问题。可见其实是原命题的逆命题。 连PB交AC于F，易证AF:AC=PF:PB=1:3, 得EFD1B,所以AF:AC =1:3时，EFD1B。 因为EFD1B，所以EF和D1B共面与平面BD1P中，D1P、BP都在这个平面中，易证AF:AC=P

5、F:PB=PE:PD1=ED:A1D=1:3。 假设AF:AC =1:3，连BP交AD与P,可证P与P重合，易证EFD1B。因为以上各步步步可逆。所以当AF:AC =1:3时，EFD1B。(这句话不可少) 因为EFD1B，所以=-+- =(+-)，得=-，=；所以=- 。假设=，可得=-(+- )，= -+-，可 见=，即。_b_c_a_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D生：然后把和分别用基底来表示。师：分别把要解决的问题中的和分别把它表示出来，(板书)是不是啊。是什么呢？ 生：=+。师：好，是什么？(描红) 生：+。师：哪个向量？噢，=+，好。我们看看是什么呢？ =+生：

6、- +。师：看看，=( 的什么？ 生：-。师：我们通常用什么方法表示向量比较好？我们前面讲过，头尾相连的？噢，从哪个箭头进去，到哪个箭头结束。是这条线路，还可以走哪条线路，从E点出发到A点？ 生：A到D到E。师：噢，这个到这个到这个(在图中指E到A1到A）。你说的是不是这一个？ 生：我说的是A到D到E。师：A到D到E。观察一下，起点在这个地方(E)，终点在这个地方(A)，观察结果应该是E到D到A，是不是。注意，终点，起点，对不=+·(+)=+(+)=(-)-+(+)=+- 对？那么就等于+。再加上什么，。是什么呢？ 生：·(+)。(板书) 师：·(+)，是不是啊。

7、等于多少？ 生：。师：好，。(改为)(+)再整理一下，？ 生：+。 师：啊？ 生：-。 师：噢，是(-)-+(+)。整理一下得等于什么？生：=+- 。(1204)师：好，通过基底就表示出来了，是不是啊。再看，它等于多少？看看哪位同学来表示一下？×× 生：师：你准备走哪条线路？从D1到B，你走哪条线路？从这个点(D1)出发，你走哪个线路到B。 生：D1A1师：D1A1等于什么？ 生：-。师：到这边了（指黑板上的图），再怎么样？ 生：A1到B1。师：A1到B，直接过来？ 生：A1到B1。师：到这里(B1)？向量是？ 生：。但是，这里不是步步可逆。由只能推出=，而推不出=，即推不

8、出=。所以不是步步可逆。 假设=，得=，,=，过E点与平行的向量唯一，所以=。即当=时，EFD1B。 (两边夹) 教学路线 (1)猜想=，综合几何法证明；(2)猜想=，向量法证明；(3)归纳概括向量法解题步骤； (4)综合几何证明EFAC； (5)向量法证明EFAC； (6)两法求异面A1D与AC距离；(7)归纳概括向量法可以解决的 所有问题； (8)随机提出一个线线角问题解 决，并求解； (9)引导分析向量法的优缺点； (10) =?时，EF面DD1C1C； (11)归纳几何意义与向量意义的 转化； 线线平行Û=； 线面平行Û=+ 线线垂直，线面垂直，线线角， 线面角，点

9、面距离，线线距离。(12)留一个问题为下一节课作好 铺垫解决与平面法向量 有关的问题。 教学思维：通过具体问题的解决概括出知识要点和方法步骤，这样的知识点与问题建立起意义联系，是知识与运用，解题与方法的一种有意义学习，使知识和方法具有了更大的弹性，具有更大的迁移能力。 两课采用完全不同的教学方式，周从知识到知识， 师：这里再怎样？ 生：B1到B。师：然后再下来到B。他说的这条线路可不可以啊？ 生：可以。师：好，就是=-+-。这里的a、b、c次序不太对，是不是 =+- =-+-=-+-=啊，把它整理一下，就是=-+- (-+-)。看看，这两个表示起来有什么关系啊？师：我们发现，等于什么？ 生：的

10、。师：某一向量等于乘以某一向量，说明这两个向量怎么？ 生：共线。(1)建立基底(2)向量表示(3)代入运算(4)得出结论师：共线。那么这两条线有没有共同的交点啊？没有，所以得到这两个平行。(1400)我们发现通过向量办法来解决平行问题，刚才××同学说得很好，第一步是什么？建立基底。(板书)第二步呢？ 生：向量表示。师：噢，向量表示。第三步呢？代入运算，是不是啊。运算结果出来后，就可以什么呢，就可以下结论。我们发现，通过向量的办法可以解决两条线平行的问题。(1500)我们再来看，另一个问题，这里已得到等于了，如果等于的时候，我们来看看EF与AC有什么关系？(板书) ×

11、;× 生：垂直。 师：垂直啊，为什么垂直？ 生：EFD1B。师：好，因为EF与D1B。 生：D1B在平面ABCD的射影是BD。师：噢，你就是根据三垂线定理证明D1BAC，因为D1BEF，所以EFAC。可不可以啊，很好。可不可以用向量的办法证明EFAC？ 众：可以。师：可以，用向量的办法怎么来证明？ 众：用向量的数量积。=+·=(-+-)·(+)=2-2=0师：现在EF有没有表示出来？表示出来了。AC呢？ 众：也可以表示。师：噢，也可以表示。看看AC是什么？ 生：+。师：等于什么，噢，+。我们来算算看，·。也就是运算以后看看得到什么结果。分别展开以后，&#

12、183;等于什么？ 生：等于0。师：为什么？ 生：垂直。师：噢，,两两垂直，因此等于什么，(2- 2)，2等于多少？ 生：1，都是1。师：等于1，都是1，好，那就等于什么？ 生：0。师：因为两向量的数量积为0，所以EF垂直于AC。(1805)再看看 孙从问题解决引出知识； 周教记忆，记忆解题孙教思考，寻找解题思路； 周从一般到特殊，抽象到具体孙从特殊到一般，具体到抽象周教师是主体，学生是听众 孙教师是向导，学生探究， 但向导仍不足，探究仍不够。 解题教学 教学生“学”解题。什么是“学”解题？关键在“学”的过程，而不在结果的对错。 学如何着手解题； 学如何理解题意； 学如何数学表示,意义转换;学

13、如何联想转换问题； 学如何常识方法调整思路； 学如何预测估计前景学如何判断正误； 学如何估计意义和价值； 学如何反思监控； (1)读题， 复述问题，重述问题条件、问题牢记于心，出自于心； (2)问题是什么？ =？时EFD1B。(原话) 问题是什么意思？换一种说法：如果EFD1B，那么=？ 猜=，它是已知量未知量？(3)已知条件有哪些？特别注意EFD1B。是已知，而非未知(4)重申问题：EFD1BÛ=？ 问题特点： 问题本身具有开放性：=？时 EFD1B。 提问方式具有开放性：逻辑意 义开放，充分?必要?充要? 数学复习课教学 宗旨：以问题和解题带动概念、技能和方法的复习、梳理及运 E

14、F与A1D有什么关系？ (板书) 生：垂直(少数人)。师：啊？也垂直。根据三垂线定理可不可以证明？ 众：可以。师：根据向量的方法算一算行不行啊？ 生：行。师：这么一来发现，EF这条线非常特殊吧，是什么线？××生：这条线是A1D和AC的公垂线。师：是异面直线A1D和AC的公垂线。这条公垂线表示什么关系？是两条异面直线的什么？ 众：距离。师：距离是什么？ 生：EF。师：EF的什么？ 生：长度，模。师：长度，也就是模。下面算一算，两条异面直线的距离：EF的模是多少呢？ 生：的D1B。师：D1B长度的，为什么是？生：证第一题时已经把它证明了(=)。师：噢，再两边加模，是不是啊。现在

15、|怎么算呢？生：用勾股定理算出来。师：噢，(D1C2+CB2)再开方，是不是啊。好，如果直接算EF可不可以？我不通过这个方法，也不用勾股定理，就直接算算。可以怎么算啊？ 生：做一条辅助线。师：做一条辅助线，不加辅助线行不行？×× 生：行，用向量法，算模的平方。师：要算EF的长度，先算它模的平方。模的平方等于什么？生：就等于(用基底表示的形式)师：我们写一下，他的意思就是2=(- +-)2。(板书)这个式子非常重要：模的平方等于向量的平方，是不是啊。好，这个结果能不能算出来，算出来等于什么？ 生：。师：怎么算出来的。噢，就只要平方，等于2+2+2，其它中间的乘积要不要了？ 生

16、：不要。|2=2=(-+-)2=2+2+2=师：结果等于多少？ 生：。师：发现EF的长度等于多少？生：。(2158)师：，是不是啊？原来我们可以根据向量解决平行问题；解决垂直问题；还可以求什么，距离。立体几何中，平行、垂直两种特殊的位置关系；两种特殊的度量，一个是距离，还一个是什么，角。利用向量的方法能不能解决有关角的问题呢？随便拿一个问题出来看看，找哪两条线所成的角？ 生：EF跟AC。(众笑)师：啊？哪一个啊？ 生：EF跟A1D1。不，A1F、A1C1。用，在运用中复习，而不是教条的、僵化的、孤立的复习，否则复习的东西缺乏“弹性”。 教学教学生“学” 教学生“学会学习” 教学生“学”任何东西

17、 都要高举这面大旗； 不是一句口号！ 如何落实教“学会学习”“用科学研究的一般方法去学”首先，要在解决问题中“学”，因而学习任何东西都要有一个问题，没有问题就要设法形成问题，用问题带动知识，带动方法，带动反思总之用问题带动思考。适当的问题至关重要，选择“复合情境案例”，“多而似案例”，“概括性案例”等。 其次，解题教学的启发与探究新知的启发有所不同，解题教学的启发重在发现解题思路，探究新知的启发重在发现对象的本质特征。 师：到底哪个。 生：A1F和A1C1。师：A1F，这条线吧(在图中画出该线)，看得见吧。 生：看不见。师：噢，改成虚线。和A1C1，上面这一条。行啊！我们来看看，他是A1F和A

18、1C1。你打算怎么来算这两条线所成的 _b_c_a_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D_F角？两条异面直线啊？ 生：相交。师：是相交直线。相交直线也行哎！异面直线所成的角与相交直线所成的角有什么区别啊？啊？ 生：平移。噢，噢，平移一下。通过向量平移，这个向量变不变啊？ 生：不变。师：角度变不变啊？ 生：不变。师：就是异面直线所成的角通过平移就变成相交了。好，看这两个吧。生：先把它们两个向量点乘，再算它们的模师：怎么点乘？生：先把表示出来。师：怎么表示啊？哪条线路？A1F，走哪条路线？ =+-, =+,生：A1、A到F。师：A1到A等于什么？ 生：。师：什么向量？ 生：-。师：还

19、是-？ 生：-。师：一定要注意方向，-+。 生：。师：噢，(板书中)少了一个。A1C1呢？ 生：+。=+-, =+,cos= = 。师：那它们所成的角，怎么算？ 生：把它们点乘起来。师：噢，点乘起来，乘起来后呢？ 生：把、的模相乘，再相除。师：说具体，cos等于什么？ 生：cos=·，师：噢，就等于·，然后什么？除以|·|。(2615)马上把它算一下。算出来结果多少？ (教师巡视)有没有算出来啦？(2705)分子上面多少？啊？ 生：。师：分子上面；分母上呢？ 生：。师：分母上。其他同学是不是算出来这个结果？ 生：是。师：是的，那问题解决了，最后结果是什么？。最后下

20、结论：所以这两条线所成的角等于什么，arccos。(2754)好，这样我们发现通过向量的办法，我们可以找见线线平行、 线线垂直、两条异面直线的距离问题，是不是啊？还有线线角的问题。我们想一下，向量的办法跟我们前面讲的证明的办法比起 来，××你认为怎么样？ 生：我觉得向量的办法非常好！ 师：好在哪里？生：如果要求异面直线所成角的话，要经过平移，一不小心就会出错；而向量呢，完全建立在代数的运算上，所以只要运算过关的话，题目基本上能做对！师：你的意思就是说，把原来证明的，要动脑筋的麻烦的证明问题就转化为计算问题。好，我们把线线问题解决了。(2855)再来，当为何值时，EF平行于面

21、D1DCC1？当为何值的_b_c_a_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D_F时候，EF与这个面平行？我们现在要解决线面平行的问题。还是跟刚才一样，你们大胆地猜想，你们估计这个大概为多少？ 生：。师：哦？能不能证明一下：等于时候，它们真的是平行吗？(3025)能证明啊？怎么证明啊？哪位同学讲讲看。(3055)大家讲等于了，F点就要向这边来一点了吧?在这个位置(使=)。假如它是，你能不能证明EF平行于面D1DCC1。我们要解决线面平行的问题啊，一般要用什么办法？ 生：先证线线平行。师：找到线线平行，是不是啊。这是我们前面的经验。好，××。生：我认为，一开始是用基

22、底来表示。师：先把表示出来，你打算用向量办法，是啊？把表示出来，那么已经不一样了，不一样在哪里啊？重新表示一下，。要走哪条线路？的A1D、DA，哦，就这里变一下，变成什么，最后结果是 (- +)，有没有？ 生：没有。师：没有？好，没有了，就是(- +)。然后呢？生：因为用基底表示的时候，它没有在方向上(听不清）师：先看看这个东西(- +)表示什么？ 众：生：应该表示的是以和为基底的平面上的一个向量。师：我们前面讲过，如果和是不共线的向量，这个+就搞定了这个平面中的任意向量。那么这个地方的是不是被这两个向量所搞定了，所以是不是在这平面上，是不是？生：是。 师：好，这样一来，又因为EF与这个平面有

23、没有交点啊，没有交点， 所以得到EF与这个平面平行。这样一来，我们要不要根据前面的判定定理，在这个平面中找一条线和它平行啊？ 生：不要。师：没有必要了。原来，只要把它表示成，在这个平面中找一组基底，只要能表示成 +，就可以证明它们平行，是不是啊？(3442)这样一来发现，证明线面平行还是很简单的吧？是不是很简单的？还能证明什么问题啊，大家还想到有哪些问题？师：还可以解决什么问题啊？线面平行解决了。还可以解决什么问题？ 少数人：面面平行。 师：线面垂直可不可以？ 少数人：可以。师：线面垂直，可以不可以解决啊？哪个同学找个问题出来让大家解决看哪！×× 生：可以算直线和平面所成的夹角。师：线面角。刚才是线面平行，那么你就来个问题吧，哪条线和哪个 面所成的角。 生：直线BD1与平面A1BC1。(3730)师：哪条直线？ 生：BD1。师：与什么？ 生：A1BC1。 _O_C_1_D