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1、第二节向量及其运算(二)Vector and Linear Computation一、向量的坐标在给定的空间直角坐标系中,沿轴、轴和轴的正向各取一单位向量，并分别记为,称它们为基本单位向量.设点,过点分别做轴、轴和轴的垂面,交轴、轴和轴于和.显然,.于是上式表明,任一以原点为起点, 为终点的向量都可表示为坐标与所对应的基本单位向量的坐标表达式,简记为【例1】已知三点,分别写出、的坐标表达式.解【例2】已知两点,求向量的坐标表达式.解由例2看出空间任意向量也可以表示为如下形式若令则空间任意向量可表示为其中称为向量的坐标.二、向量的线性运算的坐标表示设，则【例3】设,求.解三、向量的模与方向余弦设

2、向量，它是以原点为起点、为终点的向量,由两点间的距离公式,得设非零向量与轴、轴和轴的正向的夹角依次为(规定),称为向量的方向角,它们的余弦称为的方向余弦.当时故【例4】设,求的模、方向角及方向余弦.解故.四、向量的数量积1.数量积的定义两向量的夹角是指它们的起点放在同一点时，两向量所夹的不大于的角，记为.定义1设向量的夹角为,把数量叫做的数量积(或点积),记作.即特别地,当时, .2. 数量积的运算规律(1)交换律(2)分配律(3)结合律由定义,若两向量与互相垂直,夹角,.反之,若非零向量,的数量积为零,即,由于,从而,即.因此有结论:两非零向量与互相垂直的充要条件是.【例5】试证向量与垂直.

3、证明因为所以向量与垂直.3. 向量积的坐标表达式因为基本单位向量互相垂直,所以设,即则即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和.【例6】设,求.解由数量积的定义可知,夹角的余弦为再由向量的模和数量积的坐标表达式可得【例7】已知三点和和,求和的夹角.解所以故.五、向量的向量积1.向量积的定义设为一定点，为力的作用点，现求力对于定点的力矩.记力矩为,与的夹角为,则力臂,力矩的大小为力矩的方向垂直与与,且指向符合右手法则,即四指指向弯向,这时拇指的指向即为的方向.定义2向量和的向量积(或称叉积)是一个向量,记作它满足下列条件:(1);(2);(3)成右手系.根据向量积的定义,力作用于点,对原点的力矩为向

4、量积满足以下运算规律:(1)结合律;(2)分配律注意:两向量的向量积一般不满足交换律,即,一般地,有.由两向量的向量积的定义可知,两非零向量与相互平行的充分必要条件是.2.向量积的坐标表示式设,则由于所以由此可见,两向量平行的充要条件是即向量与的向量积也可通过行列式求得,即【例8】设,求及.解【例9】已知三角形的顶点为,求三角形的面积.解,从而因为为以与为邻边的平行四边形的面积,故的面积为【例10】求同时垂直与和的单位向量.解由向量积的定义知,向量同时垂直与,故是同时垂直与的单位向量.易求显然,也是满足题意的向量,所以为所求.课堂练习:1. 已知,且,求点的坐标2. 从能否推出?3. 由能否得出或?小结:学习了向量的坐标表示,要求会求向量的模、方向余弦及两向量间的夹角.向量的

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