向量与解析几何

1、第一节 向量代数一、空间直角坐标系二、向量概念+坐标模方向角方向余弦；三、向量运算设；1 加（减）法2 数乘3 数量积（点乘）（）定义·=（）坐标公式·=+（）重要应用·=04向量积（叉乘）（）定义与和皆垂直，且，构成右手系（）坐标公式=（）重要应用=，共线5、混合积（）定义（，）（）·（）坐标公式（，）=（）表示以，为棱的平行六面体的体积例1、点P到过A，B的直线之间的距离 d例2、点P到A,B,C所在平面的距离d因为四面体PABC的体积V而，则V例3、过点A，B与过点C，D的异面直线之间的距离d因为，则d第二节 平面与直线（甲） 内容要点一、空间解析

2、几何1 空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x，y和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2 距离公式空间两点与间的距离d为3 定比分点公式是AB的分点：,点A,B的坐标为，则，当M为中点时，二、平面及其方程1 法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2 点法式方程已知平面过点，其法向量A,B,C,则平面的方程为或其中3 一般式方程其中A, B, C不全为零. x, y,

3、z前的系数表示的法线方向数，A,B,C是的法向量特别情形：，表示通过原点的平面，平行于z轴的平面，平行平面的平面 x0表示平面。4 三点式方程设,三点不在一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为5 平面束设直线L的一般式方程为，则通过L的所有平面方程为+，其中6 有关平面的问题两平面为：与间夹角垂直条件平行条件重合条件设平面的方程为，而点为平面外的一点，则M到平面的距离d：三直线及其方程1 方向向量、方向数与直线平行的非零向量，称为直线L的方向向量,方向向量的坐标称为方向数。2 直线的标准方程（对称式方程）其中为直线上的点，为直线的方向数。3 参数式方程4 两点式设,为不同的两点，则通过A和B

4、的直线方程为5 一般式方程（作为两平面的交线）6 有关直线的问题两直线为:垂直条件平行条件四、平面与直线相互关系平面的方程为：直线L 的方程为：L与间夹角L 与垂直条件L 与平行条件 L 与重合条件L 上有一点在上（乙） 典型例题例1求通过和直线的平面方程。解通过的所有平面的方程为其中为任意实数，且不同时为0。今把代上上面形式的方程得由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取,得，代入方程得即 4xyz30它就是既通过点又通过直线的平面方程。例2 求过直线且切于球面的平面解过所给直线除平面外的其它所有平面方程为即式子一球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是得代入式子一得两个所求的平面第

5、三节 曲面与空间曲线（甲） 内容要点一、曲面方程1、一般方程2、参数方程二、空间曲线方程1、一般方程2、参数方程三、常见的曲面方程1、球面方程设是球心，R是半径，P（x，y，z）是球面上任意一点，则,即。2. 旋转曲面的方程（）设L是平面上一条曲线，其方程是 L绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）.由得旋转面方程是（）求空间曲线绕z轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出第二步：旋转曲面方程为绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理3、二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭

6、圆柱面双曲柱面抛物柱面四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线C的方程曲线C在平面上的投影先从曲线C的方程中消去Z得到，它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么就是C在平面上的投影曲线方程。（乙）典型例题例1、求以点A（0，0，1）为顶点，以椭圆为准线的锥面方程。解过椭圆上任一点P的母线方程为因为点在椭圆上，所以。而t，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为。例2、求旋转抛物面与平面=1的交线在平面上投影方程解从曲线方程中消去z ，得曲线向平面得投影柱面方程。于是曲线在平面商得投影曲线的方程为例3、求直线 L：在三个坐标面上的投影；解在三个坐标面上的投影分别为<1>在平面上：<2>在平面<3>在平面上例4、求直线L：在平面上的投影直线的方程，并求绕y