几类特殊N阶行列式的计算

1、目 录1 1引言引言. 22 2文文献综献综述述. 22.1国内研究现状.22.2国内研究现状评价.32.3提出问题.33 3预备预备知知识识. 33.1N 阶行列式的定义.33.2行列式的性质.43.3行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理.43.3.1 行列式按一行(列)展开.43.3.2 拉普拉斯定理.54 4几几类类特殊特殊 N N 阶阶行列式的行列式的计计算算.54.1三角形行列式的计算.64.2两条线型行列式的计算.74.3箭形行列式的计算.84.4三对角行列式的计算.84.5Hessenberg 型行列式的计算.104.6行（列）和相等的行列式的计算.114.7相邻行（列）元素差 1

2、 的行列式的计算.124.8范德蒙型行列式的计算.135 5结论结论. 155.1主要发现.155.2启示.155.3局限性.155.4努力方向.15参考文献.161引言行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了 19 世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19 世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到 19 世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时

3、也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的 N 阶行列式,特别是当 N 较大时， 直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决 n 阶行列式的计算问题.本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,

4、并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.2文献综述2.1 国内研究现状现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中1、3介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，2、4介绍了利用行列式的性质计算行列式，4、8直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在 Matlab 上的实现， 7、 9、 10介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法， 11、12、13同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，14在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，15-18系统介绍了行列式计算中和各种方法,如

5、定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.2.2 国内研究现状评价现查阅到的参考资料、 文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.2.3 提出问题行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N阶行列式的计算方面入手,对特殊N阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.3 预备知识为了更好的计算行列式,我们先

6、要对行列式的一些性质有一些了解.下面我们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料1.3.1 N 阶行列式的定义由一个 n 行 n 列的正方形数表nnnnaaaaA1111（称为 n 阵方阵）按以下规则确定的数称为 n 阶行列式，记为 D,或A，或 detA,det nija，即D=det nija=nnnnaaaaA1111其中为 n 个数，1，2，n 的一个排列，为此排列的逆序数.而符号表示对所有的 n 无排列求和，共有 n!项.3.2 行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当 N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当 N 较大时,按定义去计算就

7、很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献14.性质 1 行与列互换,行列式不变.性质 2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.性质 4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零.性质 5 两行(列)对应元素成比例

8、,行列式的值为零.性质 6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变.性质 7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.3.3行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献7.3.3.1 行列式按一行(列)展开(1)在 N 阶行列式的中，将元素ija所在的第 i 行第 j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的 n-1 阶行列式，称为元素ija的余子式余子式，记为ijM，即111,11,111,11,11,

9、11,1,11,11,1,1,1,jjniijijinijiijijiinnn jn jinnaaaaaaaaMaaaaaaaa，而( 1)ijijijAM 称为元素ija的代数余子式代数余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即111112211122(1,2, )(1,2, )niiiiininnnnjjjjnjnjaaDa Aa Aa AinaaaAaAa Ajn(3)n 阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零.3.3.2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算

10、中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:拉普拉斯定理拉普拉斯定理任意取定 n 阶行列式 D 的某 k 行（列）（1kn）,由这 k行 （列）元素所组成的一切 k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4 几类特殊 N 阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的

11、计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式的计算在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即.（2） 次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即.(3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即.42 两条线型行列式的计算在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.例 1

12、 计算 n 阶行列式1211nnnnnababDabba.分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 按第 1 列展开得22122111111( 1)nnnnnnnnabbabDababaab11212(1)nnna aab bb总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3 箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中,有许多形如

13、，的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.例 2计算 n+1 阶行列式0112111100100100nnaaDaa12(0)na aa分析:题中所给的 n+1 阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的ia1倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出.解：把每一列的（ia1）加到第一列，得)1(101niiiniaaa总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角

14、或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.4.4 三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例 3计算 n 阶“三对角”行列式Dn=00010001000001分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值.解: 把行列式展开,得到Dn1按 c 展 开()D1n(1)00001000

15、001n1按 r 展 开()D1nD2n即有递推关系式Dn=()D1nD2n(n3)故1nnDD12()nnDD递推得到1nnDD12()nnDD223()nnDD221()nDD而1()D，2D+1+22，代入得1nnnDD1nnnDD由递推公式得1nnnDD12()nnnD 2D2n1nnn1n1nn时，当时，当1)(n111nnn总结: 对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系21nnnDDD,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.4.5Hessenberg 型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做 Hessenberg 型行列式，这类行列式类似于箭

16、形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.例 4 计算 N 阶行列式分析:对于该行列式,将每一列都加到第 N 列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解:将第 1,2,，n-1 列加到第 n 列，得总结:对于 Hessenberg 型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.4.6行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的

17、这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或 1 的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例 5计算行列式.分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第 1 列（或行）或第 N 列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.4.7 相邻行（列）元素差 1 的行列式的

18、计算计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差 1 的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差 1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是 1 的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了.例 6计算元素满足jiaij的 N 阶行列式nD.分析: 根据题设写出 N 阶行列式这是相邻两行(列)元素差 1 的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为 1 或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式.解:前行（列）减去后行（列）,得总结:以数字 1,2,，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差 1 的 N 阶行列式可以如下计算

19、：自第 1 行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第 N 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为 1 或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍数 K 的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K 倍,或后行（列）减去前行（列）得-K 倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素.4.8范德蒙型行列式的计算范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了.首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献17.范德蒙

20、行列式122221212221211112111()nnnijjinnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxxxx 即等于这 N 个数的所有可能的差的乘积.例 7计算行列式12222122221212111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx(1)分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少 n-2 次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.解：比较范德蒙行列式，缺少2n次幂行，所以应补之于是考察1n阶范德蒙行列式122222121111121211111()nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxx(2)121()()()()nijjin

21、xxxxxxxx 视x文字，一方面，由（1）知nD是行列式( )f x中元素1nx的余子式.1n nM，即：1,1,1,1( 1)nnnn nn nn nDMAA 于是将( )f x按其第1n 列展开可得( )f x中1nx的系数为nD另一方面，从( )f x的表达式（2）及根与系数的关系知，( )f x中1nx的系数为：121()().nijjinxxxxx 所以121()()nnijjinDxxxxx 所以121()()nnijj i nDxxxxx 总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时， 可以考虑将其转化为范德蒙行列式

22、并利用相应的结果求值.5结论5.1 主要发现行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊 N 阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度.5.2 启示和意义在行列式的计算中,特别是对于特殊 N 阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果. 特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三.掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那

23、么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算 N 阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确.5.3 局限性本文只介绍了几类特殊 N 阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究.5.4 努力方向行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊 N 阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.参考文献1 陈治中.线性代数M.北京:科学出出版社,2009:6-23.2 邵建峰、刘彬. 线性代数M.北京：

24、化学工业出版社，2007：1-18.3 张翠莲. 线性代数M.北京:中国水利水电出版社，2007：4-16.4 李小刚.线性代数能及其应用M.北京:科学出出版社,2006:37-61.5 郭立焕、汤琴芳. 线性代数M. 北京：科学技术文献出版社，1988：1-32.6 俞正光、王飞燕. 线性代数M. 北京：清华大学出版社，2005；1-26.7 郑素文.线性代数与应用名师导学M. 北京: 中国水利水电出版社,2004:1-45.8 刘剑平、施劲松.线性代数M.上海:华东理工大学出版社,2011:35-53.9 贾兰香、张建华.线性代数M.天津:南开大学生出版社,2004:1-42.10 居余马

25、.线性代数M. 北京:清华大学出版社,2002:1-32.11 詹耀华.线性代数M. 北京:中国金融出版社,2007:1-17.12 宋光艾、刘玉凤、姚光同、陈卫星.高等代数M. 北京:清华大学出版社,2012:1-15.13 蓝以中.高等代数简明教程M. 北京:北京大学出版社,2002:147-203.14 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M. 北京:高等教育出版社,2003 三版:50-89.15 张新功.行列式的计算方法探讨J.重庆师范大学学报,2011,第 28 卷第 4 期:88-92.16 古家虹.关于行列式的计算方法J.广西大学学报,2005,第 30 卷增刊:1

26、74-176.17 李红珍.行列式的计算方法与研究J.河南科技报,2013:212.18 贾冠军.行列式计算方法研究J.菏泽师专学报,1999,第 21 卷第 2 期:61-65.曲靖师师范范学学院院本科生毕业论毕业论文文论论文文题题目目: 几类特殊 N 阶行列式的计算作者、学号：周松 2009111209学院、年级：数学与信息科学学院 2009 级学科、专业：数学数学与应用数学指 导 教 师：程毕陶完 成 日 期：2013 年 5 月 20 日曲靖师师范范学学院院教务处教务处曲靖师范学院本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文 （设计） 质量要求。答

27、辩小组签名主席姓 名工 作 单 位职称曲靖师范学院数学与信息科学学院成员曲靖师范学院数学与信息科学学院曲靖师范学院数学与信息科学学院曲靖师范学院数学与信息科学学院曲靖师范学院数学与信息科学学院答辩日期：2013 年 5 月 22 日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：。论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（

28、设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。签名：指导教师签名：日期：。几类特殊 N 阶行列式的计算摘 要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,在数学和现实生活中有着广泛的应用,如在解析几何,代数式中的理论应用和在工程和建设、 经济管理中的实践应用等如何计算行列式显得优为重要而大多行列式的计算特别是 N 阶行列式的计算，在平时的计算和考试中即费时又很难抓住解题的技巧，特别是在考试中容易出现思维短路，解不出题或解题效率不高本文从几类特殊的 N 阶行列式入手,归纳了行列式的常用计算方法,根据行列式的特点为选择行列式的计算方法在平时的 N 阶行列式的计算中,希望从本文的几类特殊行列式的计算中,归纳总结出一些行列式计算的方法技巧，使计算方便、简洁.关键词：N 阶行列式；行列式；计算方法A Variety of Special N-th-order Determinant CalculationAbstract: Determinant is o