向量的加减法与数乘MicrosoftWord文档

1、 向量的物理背景与概念及向量的几何表示一、教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3.会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、教学重难点：1.理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.三、教学过程： 新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。（二）提问：1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向

2、量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习A(起点) B（终点）a1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：用有向线段表示； 用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，

3、三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.（四）判断（1）平行向量是否

4、一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） 相等向量与共线向量一、教学目标：1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.二、教学重难点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念；平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.三、教学过程：一、新课学习 1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线

5、段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、例题讲解例1如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）例2判断：（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？

6、（零向量）（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆

7、否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.三、随堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零

8、向量与零向量是相等的. 、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2书本77页练习4题 向量的加法运算及其几何意义一、教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。二、教学重难点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法的定义。三、教学过程：一、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、

9、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。二、新课学习：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）ABCa+ba+baabbaa如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a， 规定： a + 0-= 0 +aa a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时， |+|<|+|；什么时候|+|=|+|，什么时候|+|=|，当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<|+|；当与

10、同向时，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|>|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|<|，则+的方向与相同，且|+b|=|-|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加OABaaabbb例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点，作 ，则.加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ）向量加法的交换律：+=+你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？6由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算

11、可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P8384）略变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和. 向量的减法运算及其几何意义一、教学目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；二、教学重难点：向量减法的概念和向量减法的作图法.减法运算时方向的确定.三、教学过程：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中

12、， . 解：二、 新课学习：向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a -

13、 bOabBaba-b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O， 作= a， = b 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.OABaBb-bbBa+ (-b)ab 注意：1°表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)4 探究：） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b - a.）若ab， 如何作出a - b？a-bAABBBOa-baa

14、bbOAOBa-ba-bBAO-b三、 例题讲解：例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d， ABCDObadc 作， ， 则= a-b， = c-dA B D C例2、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.解：由平行四边形法则得： = a + b， = = a-b变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能， 对角线方向不同） 练习： 在ABC中， =a， =b，则等于( B )A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 向量的数乘运算及几何意义（1） 一、教学目标：1掌握实数与向量的积的定义；2掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；二、教学重难点：1实数与向量的积的定义及其运算律。三、教学过程：（一）复习： 已知非零向量，求作和如图：，（二）新课讲解：1实数与向量的积的定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与