历届代数试题

1、(2011.1A)一、填空题（每题4分，共16分）1. 设都是4维列向量，4阶方阵，4阶方阵，已知则方阵 .2. 设为3维列向量，则= .3. 设3阶方阵的秩为2，则常数= .4. 设是阶实对称矩阵的两个不同特征值，是对应的单位特征向量，则矩阵有两个特征值为 和 .2、 单项选择题（每题4分，共16分）1. 设有直线和平面则（ ）（A） 与平行但不在上； （B）在上；（C）与垂直相交； （D）与相交但不垂直.2. 设阶矩阵非奇异，为的伴随矩阵，则=（ ）（A） ； （B）； （C）； （D）.3. 设都是阶非零矩阵，且，则和的秩（ ）（A）必有一个为0；（B）都小于；（C）一个小于，一个等于；

2、（D）都等于.4. 元二次型正定的充分必要条件是（ ）（A） ；（B）的正惯性指数为0；（C）秩为n; （D）合同于单位矩阵.3、 （10分）求点到直线的距离.四、（10分）设3阶矩阵满足，其中为3阶单位矩阵.（1） 证明可逆； （2）若，求矩阵.5、 （10分） 已知 ,（1） 为何值时，不能表示为的线性组合；（2） 为何值时，可以表示成的线性组合，并写出该表示式.六、（10分）已知矩阵与相似，求.七、（10分）(注意:学习过第8章“线性变换”者做第2题,其余同学做第1题)1.设矩阵给定，令（1）证明是上的线性子空间；（2）当时，求的基与维数.2. 设是线性空间 的一个基，已知，且在此基下的

3、矩阵为（1） 求的基与维数；（2）在中选一个基，把它扩充为的一个基.(2010.1A)一、单项选择题(每小题5分,共15分)(1).设A为三阶方阵,将A的第2行加到第1行得矩阵B，再将B的第1列的倍加到第2列得矩阵C，记矩阵, 则(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】 (2). 设有线性方程组(I) :， (II):,则(A) (II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解; (B) (II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解;(C) (I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解;(D) (I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解;.

4、【 】(3) 若阶方阵相似于对角阵，则(A) 有个不同的特征值; (B) 为实对称阵;(C) 有个线性无关的特征向量; (D) . 【 】二、填空题(每小题5分,共15分)(1). 设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵的一个特征值为 .(2). 矩阵，则二次型的矩阵为.(3).已知是四元方程组的三个解，其中且，则方程组的通解为 三、(12分) 证明两直线,异面；求两直线间的距离；并求与都垂直且相交的直线方程。四、(12分)线性方程组讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程可经过正交变换化为柱面方程，求的值及正

5、交矩阵P.六、(12分) 设,矩阵满足，其中为三阶单位矩阵，求矩阵X.七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1) 矩阵，线性空间求的基与维数. (2) 设,在的基下的矩阵为 ，求在基下的矩阵. 八、(10分)设是维列向量组，矩阵试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组均有解。（2009.1A)一、单项选择题(每小题5分,共15分)(1). 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) (B) (C) (D) 【 】(2). 若,则(A) 的行向量线性相关; (B) 的行向量线性无关;(C) 是列满秩的; (D) 是列满秩的. 【

6、】(3).设矩阵, 则(A). (B). (C). (D). 【 】二、填空题(每小题5分,共15分)(1). 在中, 则= .(2). 若阶矩阵的特征值为, 且, 则= (3). 三、(12分) 求以为准线,母线平行于向量的柱面方程四、 (12分) 设线性方程组与方程有公共解,求的值及所有公共解.五、(12分). 设二次型，其中.(1) 求一个正交矩阵，使成对角矩阵;(2) 若,指出方程所表示的图形名称.六、(12分) 设且知，求矩阵X.七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1) 是否可作为的一个基？求维数.(2) 求的线性变换的值域的基和零

7、度空间的基八、(10分) 设是齐次线性方程组的基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关.（2008.1A） 一、填空题(每小题4分,共16分)(1). 若矩阵,则= .(2). 已知,则迹= .(3). 若向量组线性相关,则= .(4). 设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是 .二、单项选择题(每小题4分,共16分)(1). 设，则必有 (A) . (B) (C) . (D) . 【 】 (2). 直线和直线 (A) 重合. (B) 相交. (C) 平行. (D) 异面. 【 】(3). 只有零解的充分必要条件是(A) 的列向量线性相关; (B) 的行向量线性相关;(C) 是行满秩的; (D) 是

8、列满秩的; 【 】(4).设矩阵，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】三、(12分) 写出以为顶点，为准线的锥面方程。并指出其在平面上的投影曲线的名称。四、(12分) 取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 设二次型，其中(1) 写出二次型的矩阵;(2) 求一个正交矩阵，使成对角矩阵;(3) 求一个矩阵，写出在线性变换下的规范形.六、 (12分) 向量组，,能否由向量组，线性表示。若能，求出它们的表达式。七、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)设数域上的三维

9、线性空间中定义的两个运算是和，即，且是的一个基，是的零元，若,(1) 求的基与维数。(2) 若中的线性算子的矩阵，求和的一个基。八、(10分) 设，,且，（1）求的特征值，（2）求可逆阵及对角阵，使. （2007.1A）一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若矩阵,则= .(2). 若向量组的秩为2,则= .(3). 设矩阵,已知齐次线性方程组的基础解系含有两个向量，则= .(4). 设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,满足，则必有 (A) 的列向量组线性相关. (B) 的列向量组线性无关.(C) 的列向量组线性相关. (D

10、) 的列向量组线性无关. 【 】(2). 曲线绕轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A) 单叶双曲面.(B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】(3). 已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，则必相似于对角矩阵(A); (B); (C); (D); 【 】(4).设矩阵，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】三、(12分) 设方阵满足,其中，求矩阵.四、(12分) 已知直线，直线.（1）记的方向向量为，求过且与平行的平面的方程.（2）求与的交点.并写出与的公垂线的方程.五、(12分) 、取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程

11、组的结构式通解.六、(12分). 设二次型,(1) 写出二次型的矩阵;(2) 求一个正交矩阵,使成对角矩阵;(3) 写出在正交变换下化成的标准形.七、 (12分) 设矩阵的全部特征值之积为24.(1) 求的值；(2) 讨论能否对角化，若能，求一个可逆矩阵使为对角阵。八、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1) 在中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成的一个子空间.证明元素组是的一个基.(2) 设是上的线性算子，在的基（）：下的矩阵为,求在的基（）：下的矩阵九、(6分) 设为阶方阵，且.证明:的充分必要条件是.（20061A）一、填空题(每小题3分,

12、共12分)(1). 若向量组线性相关,则常数= .(2). 若矩阵的伴随矩阵,则= .(3). 已知为3维向量, ,则= .(4). 已知是齐次线性方程组的基础解系,则向量组也可作为的基础解系的充要条件是常数满足条件 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设矩阵,则 (A) 为正交矩阵(B) 为正交矩阵.(C) 为正交矩阵. (D) . 【 】(2). 已知矩阵相似于对角矩阵,则等于(A) 0. (B) 2. (C) -2. (D) 6. 【 】(3). 设矩阵的伴随矩阵的秩为1,则(A) . (B) 且. (C) . (D) 且.【 】(4).的子空间的维数是 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【 】三、(12分) 设3阶方阵、满足,(1) 证明矩阵可逆; (2) 当时,求.四、(13分) 、取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.五、(12分) 求两相交直线与所确定的平面的一般式方程.六、(12分) 设3阶矩阵的特征值为,求方阵的特征值及.七、 (13分) 设矩