双曲线及其标准方程一xj

1、双曲线及其标准方程（一）（人教版数学高二上册） 湖南师大附中 肖 婕一、教学目标（一）认知目标1、使学生理解并掌握双曲线的定义（第一定义）；2、使学生理解并会推导双曲线的标准方程；3、使学生能根据条件求简单的双曲线的标准方程.（二）能力目标1、渗透类比的思想方法，培养学生观察、发现、类比、归纳、概括、推理等能力;2、培养学生全面、系统、辩证地分析问题的能力， 培养学生数形结合的思想。（三）情感目标1、通过对双曲线的初步认识，让学生感知几何图形的曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣；2、在教学中让学生体验数学活动中的探索性与创造性，感受数学的严谨性及数学规律的准确性，培养学生勇于探索、

2、勤于思考的精神.二、教材分析1、教学重点 双曲线定义（第一定义），按照给出的条件求简单的双曲线的标准方程.2、教学难点 双曲线定义（第一定义）的理解及其应用；双曲线的标准方程的推导.三、教学过程（一）复习提问椭圆的定义是什么？(学生回答，教师演示)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆（二）新课引入平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆那么平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹又将是怎样的图形呢？（三）实验操作老师带领学生利用几何画板进行实验探究：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于

3、常数的点的轨迹将是什么图形？对常数大于|F1F2|、等于|F1F2|和小于|F1F2|三种情形下的动点的轨迹进行探究。（四）双曲线的定义在探究的基础上介绍日常生活中双曲线的广泛应用。（展示图片）并由此引出课题，并请学生对照椭圆定义给双曲线下定义.1、双曲线的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2、定义讲解：（1）没有绝对值符号只表示双曲线的一支；（2）0常数| F1F2|；若常数=| F1F2|，点M的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；若常数| F1F2|，点M的轨迹不存

4、在.当常数=0时，轨迹为F1F2中垂线.（五）双曲线标准方程的探究现在来研究双曲线的方程我们可以用类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程（图3） 1、标准方程的推导：（1）建系设点建立直角坐标系xOy，使取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1 F2的垂直平分线为y轴(如图3)建立直角坐标系双曲线的焦距为2c(c0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a设M(x，y)为双曲线上任意一点。 （2）找等量关系由定义可知，双曲线就是集合：P=M|M F1|-|M F2|=2a=M|M F1|-|M F2|=±2a（3）列

5、方程这就是双曲线的方程，不过它是无理方程，形式比较复杂。（4）化简方程以前遇到过两个根式的问题吗？如何处理？一般处理方法是将一个根式移到方程的另一边再两边平方。让学生仿照椭圆方程的推导自己动手实践：移项得，两边同平方得：移项得，整理得，两边再平方得， 由双曲线定义，2c2a 即ca0，所以c2-a20设c2a2=b2(b0)，代入上式得：b2x2a2y2=a2b2两边除以a2b2，得这就是双曲线的标准方程2、两种标准方程的比较(引导学生归纳)：（1）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是F1（c，0）、F2（c，0），这里c2=a2+b2(如图3)；（2）如果双曲线的焦点在y轴上(如图4)，焦点是F

6、1（0，c）、F2（0，c），c2=a2+b2，那么只须将方程的x、y互换即可得它的方程 ，这个方程也是双曲线的标准方程.3、 椭圆、双曲线对比列表（课件显示）椭 圆双 曲 线定 义|MF1|+|MF2|= 2a(a> |F1F2|)|M F1|M F2|=2a (2a< |F1F2|)图 形方 程焦点坐标F（±c，0）F（0，±c）F（±c，0）F（0，±c）a、b、c的关系c2=a2b2c2=a2b2对比提问：（1）双曲线的标准方程中a、b、c的关系是什么？与椭圆有何不同？答：双曲线的标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭

7、圆方程中c2=a2-b2双曲线中c最大，a0，b0，但a不一定大于b；而椭圆中，a最大。（2）双曲线的标准方程中x2、y2的系数与焦点所在的坐标轴有何联系？与椭圆有何不同？答：双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上. 而椭圆焦点位置是通过比较x2、y2系数的分母的大小而定的.（六）例题讲解例 已知双曲线的焦点坐标为F1（5，0），F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2a=6，2c=10，a=3，c=5，b2=5232=16.所以所

8、求标准方程为.变式1：若将例1的“差的绝对值等于6”改为“差等于6”，结果会怎样？答：所求标准方程为（x0）. 变式2：若将例1的“焦点坐标为F1（5，0），F2（5，0）”改为“焦距等于10”，结果会怎样？答：焦点在x轴上的双曲线标准方程为；焦点在y轴上的双曲线标准方程为.（七）课堂练习1、如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数t的取值范围为；如果方程表示双曲线，则实数t 的取值范围为.2 、双曲线上的一点P到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离是.（先让学生分组讨论再请学生代表逐题上台讲解，最后教师根据学生讲解的情况讲评。）（八）课堂小结这节课我们学习了双曲线的定义、图形和标准方程

9、，同学们在学习中要注意使用类比的方法，仿照椭圆的定义、图形和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2|）的点的轨迹.双曲线定义（F1，F2为定点，a为常数）图 形标准方程焦点坐标F1(c，0)，F(c，0)F1(0，c)，F(，c)a，b，c关系注意三点：（1）是“差的绝对值等于常数”，不是“差等于常数”，而且这个常数必须小于|F1F2|；（2）标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，a与b的大小关系不确定；（3）焦点在哪根轴上是由x2、y2项系数的正负号来确定的，谁的系数为正，焦点就在哪根轴上. 拓展：我们在推导双曲线的标准方程时，