全等三角形的判定

1、全等三角形的判定【本讲知识梳理】一、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA） 任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS) 第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA) 夹等角的另一组边相等

2、(SAS)知识点一：边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”例：已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN.求证： AMCN，BMDN 证明 AC=BD（已知） AC+BC=BD+BC， 即 AB=CD. 在ABM和CDN中， ABMCDN（SSS） A=NCD，ABM=D（全等三角应角相等）， AMCN，BMDN（同位角相等，两直行）。知识点二：边角边公理两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”例：已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C .求证：AF=DE. 证明 BE=C

3、F（已知），BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE.在ABF和DCE中， ABFDCE（SAS）。 AF=DE（全等三角形对应边相等）。知识点三：角边角公理两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”例：已知：如图2，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB.求证：AE=CE 证明 FCAB（已知），ADE=CFE（两直线平行，内错角相等）。 在ADE和CFE中， ADECFE（ASA）。 AE=CE（全等三角形对应边相等）知识点四：角角边定理两个角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”例：已知：如图6，

4、AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF. 求证：ACEBDF. 证明 OA=OB，OE=OFOA-OE=OB-OF，即 AE=BF， 在ACE和BDF中， ACEBDF（AAS）。总结：要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA） 任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS) 第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA) 夹等角的另一组边相等(SAS)知识点五：直角三角形全等的判定“HL”公理斜边和

5、一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边，直角边”或“HL”例：已知：如图ADDB，BCCA，AC、BD相交于点O，且AC=BD，求证：AD=BC。 D C A B 证明：ADDB，BCCA ADB和BCA都是直角三角形，在RtADB和RtBCA中， BD=AC AB=BARtADBQRtBCA（HL），AD=BC知识点六：常见全等三角形中添加辅助线方法（1）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形例如：如图，已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而

6、由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。证明：在DA上截取DNDB，连接NE，NF，则DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长ED至M，使DM=D

7、E，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定义） 32=90即：EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图，AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证ABAC2AD，由图想到： A

8、BBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知）BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS）BECA 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。【思考练习】已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图， 求证EF2AD。 （4）截长补短法作辅助线。例如：已知如图在AB

9、C中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再连接PN，则PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN 在BPN中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边） BPPCABAC证明：（补短法） 延长AC至M，使AMAB，连接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SA

10、S） PBPM 又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。（5）延长已知边构造三角形。例如：如图，已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC分析：欲证 ADBC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ADAC BCBD CAEDBE 90 在DBE与CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形对应边相等） EDEAECEB

11、即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）（6）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC与CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（7）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图，在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE 分析：要证BD2CE，想到要构造线段2CE

12、，同时CE与ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 BECF （已知） BEFBEC90 在BEF与BEC中， BEFBEC （ASA） CE=FE=CF （全等三角形对应边相等） BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD与ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE（8）连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得AD。证明：连接BC，在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形对应边相等)（9）取线段中点构造全等三有形。例如：如图，ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN