初稿三重积分计算方法小结

1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结Methods of Calculationof Triple Integral姓 名：蒋 晓 颖 学 号：1007012048学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师：蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算

2、；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。【关键词】三重积分累次积分 坐标变换 对称性 高斯公式Methods of Calculation of Triple IntegralJiangXiaoying【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysisIn this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive

3、 methods of the calculation of triple integral for learnerThe four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，

4、fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss for

5、mula目录1 引言12 三重积分的概念和性质12.1 三重积分的概念12.2三重积分的性质23 三重积分的计算方法33.1 化三重积分为累次积分3 投影法3 截面法4 三重积分化为累次积分的应用43.2 三重积分换元法7 一般坐标变换7 柱面坐标变换7 球面坐标变换7 三重积分坐标变换的应用83.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分10 积分区域关于某平面对称的情形10 积分区域关于积分变换轮换对称的情形14 三重积分对称性的应用143.4 利用曲面积分计算三重积分154 小结19参考文献201 引言三重积分的计算是初学者的一个难点计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式、换元法

6、和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活的选择计算公式和方法，以便于计算其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学习者在这方面的能力，本文总结出三重积分计算中的若干处理方法2 三重积分的概念和性质2.1 三重积分的概念类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分设密度函数为，为了求V的质量，我们把V分割成n个小块V1，V2，, Vn，在每个小块Vi上任取一点，则其中为小块的体积，设是定义在三维空间可求体积的有界区域V上的有界函数现用若干光滑曲面所组成的曲面网来分割，它把分成个小区域V1，V2，, Vn，记Vi

7、的体积为（=1,2,），在每个Vi中任取一点，作积分和定义：设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域当1时，在几何上表示的体积2.2 三重积分的性质三重积分具有与二重积分相应的有关性质类似于二重积分，有、 若在区域上可积，为常数，则在上也可积，且、 若，在区域上可积，则在上也可积，且、 若在上都可积，且无公共内点，则在上也可积，且、 若，在区域上可积，且，则、 若在区域上可积，则在上也可积且、 若在

8、区域上可积，且则这里是积分区域的的体积、 （中值定理）若在有界区域上连续，则存在，使得，这里是积分区域的体积3 三重积分的计算方法3.1 化三重积分为累次积分设想将积分区域缩为平面区域（投影法）定理1若函数在长方体上的三重积分存在，且对任意，存在，则积分也存在，且 （1）证 用平行于坐标轴的直线做分割,它把分成有限多个小长方体设分别是在上的上确界和下确界对任意，现按下标相加，有以及 （2）上述不等式两边是分割的下和与上和由在上可积，当时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得在上的连续函数，函数在上的三重积分存在，且对任意，亦存在，则积分存在，且 （3）证定义其中，对应用定理1，则有设想将

9、积分区域收缩为一条直线段（截平面法）定理2、 若函数在长方体上的三重积分存在，且对任何，二重积分也存在，其中，则积分也存在，且推论，函数在上三重积分存在，且对任意固定的，积分存在，其中是截面，则存在，且. 三重积分化为累次积分的应用例1 计算积分其中是点到轴的距离，即，为一棱台，其六个顶点为.（图）解一：（投影法）积分区域在平面上的投影区域(梯形)对任意给定的点，点随增大时，当时穿入，当时穿出，故所以解二：（截面法）将向轴上投影，得到的区间是，任意取定，在上截口为等腰直角三角形区域因此例2 设求积分分析作的旋转变换则变成，即可见是以轴为对称轴的直角锥（如图2）注意，化为极坐标时变为由此故有解（

10、截面法）利用对称性（图2）3.2 三重积分换元法 一般坐标变换和二重积分一样，某些类型的三重积分作适当的变量变换后能使计算方便设变换，把空间中的区域一对一地映成空间中的区域，并设函数及它们的一阶偏导数在内连续且函数行列式于是与二重积分换元法一样，可以证明成立下面的三重积分换元公式：柱面坐标变换（）由于变换的函数行列式按（）式，三重积分的柱面坐标变换元公式为球坐标变换由于当在上取值时，所以在球坐标变换下，按公式（），三重积分的球坐标换元公式为这里为在球坐标变换下的原象 三重积分坐标变换的应用例3计算，其中是有曲面与为界的区域（如图3）解在平面上的投影区域为按柱坐标变换，区域可表为所以由公式（），

11、有（图）例4求，其中为由与所围区域解作广义球坐标变换于是在上述广义球坐标变换下，的原象为则有例5计算积分其中是由曲面所围成之立体解令即：于是从而（有对称性，我们可以直接看出）3.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分在重积分计算中，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常可使计算更为简捷本文将对三重积分中应用奇偶性和对称性作一概述在给出若干基本结论的基础上，对常见的几类处理方法作一介绍积分区域关于某平面对称的情形.1 空间对称区域上三元奇偶函数的定义设是定义在平面为对称平面的三维区域上的三元函数，（与关于互为对称点）若.2 三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及证明上述定义中，若以为对称平面将

12、区域分为和两部分，则的体积=的体积，当时，且有事实上，设区域以平面：为对称平面，则下面找出与的关系设过点与的直线为，由于直线与平面垂直，因此直线的方程为：设直线与平面的交点为，解方程组得点的坐标为其中由于点又是与连线的重点，所以，从而进一步得：而，对作变换：雅克比式：当为上的奇函数时，因此：当为上的偶函数时，因此：故有.3 空间区域关于坐标平面对称的情形作为上述问题的特例，当取坐标平面时，我们有：设关于坐标平面对称，即若，则其对称点若那么当取坐标平面时，我们有：设关于坐标平面对称，即若，则其对称点若那么当取坐标平面时，我们有：设关于坐标平面对称，即若，则其对称点若那么积分区域关于积分变量为轮换

13、对称的情形若当时，有，就称空间区域关于变量具有轮换对称性若三重积分的积分区域具有轮换对称性同时被积函数关于变量也具有轮换对称性（即）就有则： 三重积分对称性的应用例6 计算，其中是由球面所围成的闭区域解：积分区域关于平面对称，而被积函数是关于的奇函数（即）故所求积分等于0例7 计算,其中是由平面以及抛物面所围成的区域.解: 积分区域关于平面对称,而被积函数是关于的奇函数(即),故所求积分为0.例8 计算,其中为三个坐标平面及平面所围成的闭区域.解: 由于被积函数和积分区域都满足对的轮换性,因此,得:例9 计算,其中为三个坐标平面及平面所围成的立方体.解:利用被积函数和积分区域关于积分变量的对称

14、性,可知.因此:.利用三重积分的对称性可以有效地简化计算,但在使用时必须兼顾积分区域和被积函数两个方面,否则可能导致错误的结果.另外,三重积分计算是曲面积分计算的基础,对三重积分对称性的研究可为进一步研究简化曲面积分计算做准备.3.4 利用曲面积分计算三重积分在曲面积分的计算中，高斯公式建立了空间封闭曲面上的曲面积分与三重积分的联系但是，由于高斯公式在结构上的特殊性，在应用高斯公式是往往事蒋曲面积分的计算转化为三重积分的计算，却很少利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分的计算，忽视了曲面积分在三重积分计算中的作用本文给出把一类三重积分在三重积分转化成曲面积分的一个定理，并举例说明这个定理的

15、一些应用本文中列举的例子其目的只是说明应用这个定理如何计算三重积分，也许这个例子利用三重积分的计算公式直接计算更为简单一些 高斯公式的另一种表示方式定理3设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成，函数在上连续，且具有一阶连续的偏导数，若而，则其中取外侧证明取，则，从而由于函数在上连续，且具有一阶连续的偏导数，所以，在上连续，且具有一阶连续的偏导数，由高斯公式：得从而推论 三重积分高斯公式的应用例10 计算解 ,由定理得其中是立方体的六个面,取外侧.取则例11 计算.解: 考虑积分则由定理得,其中是球面与,并取外侧.取那么同理由于,所以4 小结综上所述,化成低重积分的不同方式,采用不同坐标系化成三

16、次积分以及采取不同的积分次序这三者是计算三重积分的基本思路和方法.把三重积分化成低重积分而完成计算的技能技巧,还应该注意下面几个问题:1、坐标系的选择.包括了解各种坐标系下的积分公式主要特点,给定积分区域与被积函数时选用何种坐标系更为简便,对于平面围成的积分区域,不宜使用柱面或球面坐标系.在柱面坐标系下,当积分区域与绕轴旋转形成的旋转体有关时,关于变量的积分可能有较为简单的积分限;当积分区域有平行于面的边界面时,关于变量的积分可能的较简单的积分限.而在球坐标系下,当积分区域与球有关时,关于三个变量的积分都可能有较简单的积分限,选择积分区域还要注意被积函数的特点.2、积分方式的选择,应了解化成三

17、次积分与化成一次积分及一个二重积分的公式的主要特点,以及给定积分区域与被积函数下使用何种公式合适.3、积分次序的选择.了解改换积分次序的方法,明确由于积分次序的不同,影响积分计算与繁简程度的可能性.4、积分区域.对于用方程或不等式的积分区域,可画出示意图;对于用图形给出的积分区域,能求出其边界方程.还可求出积分区域在某一坐标平面的投影区域及这个投影区域的边界线方程;能求出积分区域平行于某个坐标面的截面;能求出积分区域经坐标变换后的新区域的边界曲面的方程.参考文献：1裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京：高等教育出版社，20032苏霞三重积分先二后一的计算方法J江苏：淮安淮阴工学院19973王子子.三重积分的对称性及其应用J山东：山东英才学院基础部，20094苏文珣三重积分计算法的一种直观理解J重庆：重庆电力高等专科学校，20095宋勇三重积分计算中变量变换的应用J内蒙古：鄂尔多斯教育学院，20076潘鹉屏三重积分计算中奇偶性、对称性的应用J南京：南京航务工程专科学校数学教研组.7