单调性极值与导数

1、1函数yx3x的递增区间是()A(0，)B(，1)C(，) D(1，)解析：选C.y3x210对于任何实数都恒成立2命题甲：对任意x(a，b)，有f(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.f(x)x3在(1,1)内是单调递增的，但f(x)3x20(1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.3函数yx3x25x5的单调递增区间是_解析：令y3x22x50得x或x1.答案：(，)，(1，)4求下列函数的单调区间：(1)yxlnx；(2)y.解：(1)函数的定义域为(0，)其

2、导数为y1.令1>0，解得x>1；再令1<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，)，函数的单调减区间为(0,1)(2)函数的定义域为(，0)(0，)y，所以当x0时，y<0，而当x0时，函数无意义，所以y在(，0)，(0，)内都是减函数，即y的单调减区间是(，0)，(0，)一、选择题1函数f(x)x2lnx的单调减区间为()A(，0) B(2，)C(0,2) D(，0)，(2，)答案：C2函数y4x2的单调递增区间是()A(0，) B(，1)C(，) D(1，)解析：选C.y8x>0，x>.即函数的单调递增区间为(，)3若在区间(a，

3、b)内，f(x)>0，且f(a)0，则在(a，b)内有()Af(x)>0 Bf(x)<0Cf(x)0 D不能确定解析：选A.因f(x)>0，所以f(x)在(a，b)内是增函数，所以f(x)>f(a)0.4下列函数中，在区间(1,1)上是减函数的是()Ay23x2 BylnxCy Dysinx解析：选C.对于函数y，其导数y0，且函数在区间(1,1)上有意义，所以函数y在区间(1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.5函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数()A. B.C. D.解析：选B.ycosxxsinxcosxxsinx，若yf(x)在某

4、区间内是增函数，只需在此区间内y恒大于或等于0即可只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立6函数yax3x在R上是减函数，则()Aa Ba1Ca2 Da0解析：选D.因为y3ax21，函数yax3x在(，)上是减函数，所以y3ax210恒成立，即3ax21恒成立当x0时，3ax21恒成立，此时aR；当x0时，若a恒成立，则a0.综上可得a0.二、填空题7yx2ex的单调递增区间是_解析：yx2ex，y2xexx2exexx(2x)>0x<2或x>0.递增区间为(，2)和(0，)答案：(，2)，(0，)8若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2，则b_，c_.解

5、析：y3x22bxc，由题意知1,2是不等式3x22bxc<0的解集，1,2是方程3x22bxc0的根，由根与系数的关系得b，c6.答案：69若函数yx3ax有三个单调区间，则a的取值范围是_解析：y4x2a，且y有三个单调区间，方程y4x2a0有两个不等的实根，024×(4)×a>0，a>0.答案：(0，)三、解答题10求下列函数的单调区间(1)f(x)x3；(2)f(x)x(b0)解：(1)函数的定义域为(，0)(0，)，f(x)3x23(x2)，由f(x)>0，解得x<1或x>1，由f(x)<0，解得1<x<1且x

6、0，递增区间为(，1)，(1，)，递减区间为(1,0)，(0,1)(2)函数的定义域为x0.f(x)1(x)(x)令f(x)0，则(x)(x)0，x或x.函数的单调递增区间为(，)和(，)令f(x)0，则(x)(x)0，x且x0.函数的单调递减区间为(，0)和(0，)11求函数f(x)x33x29x1在区间4,4上的单调性解：f(x)x33x29x1，f(x)3x26x9.令f(x)>0，结合4x4，得4x<1或3<x4.令f(x)<0，结合4x4，得1<x<3.函数f(x)在4，1)和(3,4上为增函数，在(1,3)上为减函数12已知函数f(x)ax2ln

7、x(a0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围解：f(x)a，要使函数f(x)在定义域(0，)内为单调函数，则在(0，)内f(x)恒大于等于0或恒小于等于0.当a0时，f(x)<0在(0，)内恒成立；当a>0时，要使f(x)a()2a0恒成立，则a0，解得a1.综上，a的取值范围为a|a1或a01设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A必有f(x0)0Bf(x0)不存在Cf(x0)0或f(x0)不存在Df(x0)存在但可能不为0答案：A2函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a()A2B3C4 D5解析：选D.f(x)3x

8、22ax3，f(x)在x3处取得极值，f(3)0，即276a30，a5.3yx36x的极大值为_解析：y3x260，得x±.当x<或x>时，y>0；当<x<时，y<0.函数在x时，取得极大值4.答案：44求函数f(x)x的极值解：函数的定义域是(，0)(0，)，f(x)1，令f(x)0，得x11，x21.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)(0,1)1(1，)y00y极大值2极小值2因此，当x1时，y有极大值，且y极大值f(1)2，当x1时，y有极小值，且y极小值f(1)2.一、选择题1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“

9、函数yf(x)在这点取极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立故选B.2下列函数存在极值的是()Ay ByxexCyx3x22x3 Dyx3解析：选B.A中f(x)，令f(x)0无解，且f(x)为双曲函数A中函数无极值B中f(x)1ex，令f(x)0可得x0.当x<0时，f(x)>0，当x>0时，f(x)<0.yf(x)在x0处取极大值，f(0)1.C中f(x)3x22x2，42420<0.yf(x)无极值D也无极值故选B.3函数f

10、(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个4函数f(x)x3x22x取极小值时，x的值是()A2 B2，1C1 D3解析：选C.f(x)x2x2(x2)(x1) 在x1的附近左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，如图所示x1时取极小值5函数y2x2x3的极值情况是()A有极

11、大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既无极大值也无极小值D既有极大值又有极小值解析：选D.y2x3x20x0或x.所以x时，y<0，y为减函数；在x时，y>0，y为增函数；在x(0，)时，y<0，y为减函数，函数既有极大值又有极小值6已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a、b的值为()Aa3，b3或a4，b11Ba4，b11Ca1，b5D以上都不正确解析：选B.f(x)3x22axb，在x1处f(x)有极值，f(1)0，即32ab0.又f(1)1aba210，即a2ab90.由得a2a120，a3或a4.(舍去)或二、填空题7函数f(x)x36x215

12、x2的极大值是_，极小值是_解析：f(x)3x212x153(x5)(x1)，在(，1)，(5，)上f(x)>0，在(1,5)上f(x)<0，f(x)极大值f(1)10，f(x)极小值f(5)98.答案：10988已知函数yx2(x1)1，当x_时，取得极大值_；当x_时，取得极小值_解析：f(x)的定义域为x1.y0，解得x0或x2.当x0或x2时，y0，当0x1或1x2时，y0.当x0时，函数取得极大值0.当x2时，函数取得极小值4.答案：00249若函数yx36x2m的极大值等于13，则实数m等于_解析：y3x212x，由y0，得x0或x4，容易得出当x4时函数取得极大值，所

13、以436×42m13，解得m19.答案：19三、解答题10求f(x)2的极值解：函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)、f(x)变化状态如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值3极大值1所以当x1时，函数有极小值，且f(1)23；当x1时，函数有极大值，且f(1)21.11已知函数f(x)ax3bx2，当x1时有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极小值解：(1)f(x)3ax22bx由已知可得，.(2)由(1)可知f(x)6x39x2f(x)18x218x由f(x)0可得x0或x1，列表：x(，0)0(

14、0,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可知：f(x)在x0时，取得极小值f(0)0.12已知函数f(x)x33x29x11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有，试写出极值；(3)画出它的大致图象解：(1)f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x11，x23.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值f(1)极小值f(3)(1)由上表可得函数的递减区间为(1,3)(2)由上表可得，当x1时，函数有极大值为f(1)16；当x3时，函数有极小值为f(3)16.(3

15、)当x0时，f(x)11，结合函数的单调区间以及极值的情况可画出f(x)的大致图象，如图所示1函数yf(x)在a，b上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|<1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值解析：选D.f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3函数y4x2(x2

16、)在x2,2上的最小值为_，最大值为_解析：由y12x216x0，得x0或x.当x0时，y0；当x时，y；当x2时，y64；当x2时，y0.比较可知ymax0，ymin64.答案：6404已知函数f(x)x34x.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间3,4上的最大值和最小值解：(1)f(x)x24，解方程x240，得x12，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)从上表可看出，当x2时，函数有极大值，且极大值为；而当x2时，函数有极小值，且极小值为.(2)f(3)×(3)34×(3)3，f(4)×

17、;434×4，与极值比较，得函数在区间3,4上的最大值是，最小值是.一、选择题1函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)解析：选B.f(x)2x4，当x3,5时，f(x)<0，故f(x)在3,5上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)2f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2 B0C2 D4解析：选C.f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0可得x0或x2(舍去)，当1x<0时，f(x)>0，当0<x1时，f(x)<

18、;0.所以当x0时，f(x)取得最大值为2.3函数y的最大值为()Ae1 BeCe2 D.解析：选A.令y0.解得xe.当x>e时，y<0；当x<e时，y>0.y极大值f(e)，在定义域内只有一个极值，所以y max.4函数yxsinx，x的最大值是()A1 B.1C D1解析：选C.因为y1cos x，当x时，y>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin，故选C.5函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15 D22解析：选B.f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3，1.又f

19、(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.6已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或解析：选C.当a1时，最大值为4，不符合题意，当1<a<2时，f(x)在a,2上是减函数，f(a)最大，a22a3，解得a或a(舍去)二、填空题7函数f(x)2x33x212x5在0,3上有最小值是_解析：f(x)6x26x12，令f(x)0得x2或x1(舍去)，比较f(0)，f(2)，f(3)可得函数的最小值为f(2)15.答案：158函数yxex的最小值为_解析：令y(x1)ex0，得x1.当x<1时，y<0；当x>1时，y>0.yminf(1).答案：9已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_解析：f(x)m2x，令f(x)0，得x.由题设得2，1，故m4，2答案：4，2三、解答题10试求f(x)(x23)ex的最值解：函数的定义域为R，且 f(x)ex(x22x3)令f(x)0，得x1或x3；令f(x)0得3x1.所以函数f(x)在( ，3)和(1，)上递增，在(3,