分式压轴题解析

1、分式【知识脉络】 【基础知识】1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同

2、分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即；当n为正整数时， （6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：( a0)；（5）商的乘方：；(b0)7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程

3、的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法 (

4、3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效 (4)顺水逆水问题、 8.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)【典例解析】例题1：在数学课上，教师对同学们说：“你们任意说出一个x的值（x0，1，2），我立刻就知道式子的计算结果”请你说出其中的道理【考点】分式的化简求值【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据化简结果即可得出结论【解答】解：原式=÷，=×

5、=x任意说出一个x的值（x0，1，2）均可以为此式的计算结果【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键例题2：先化简，再化简：÷1，其中x=21【考点】分式的化简求值；负整数指数幂【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=1=x1，当x=时，原式=例题3; 解方程： =+1【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3=2x+3x3，移项合并得：5x=6，解得：x=1.2，经检验x=1.2是分式方程的解例题4：在四川

6、汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）等量关系为：甲的工效+乙的工效=甲乙合作的工效（2）等量关系为：甲

7、工程队总费用=施工费用+技术员费用；不等关系式为：乙施工费用+技术员费用甲工程队总费用【解答】解：（1）设乙工程队单独完成建校工程需x天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x依题意得：解得：x=120经检验：x=120是原方程的解1.5x=180，答：甲需180天，乙需120天（2）甲工程队需总费用为0.8×180+0.01×180=145.8（万元）设乙工程队施工时平均每天的费用为m万元则：120m+120×0.01145.8（7分）解得：m1.205所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元（8分）【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描

8、述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键例题5：甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代数式表示）【考点】分式方程的应用【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均

9、攀登速度即可解答本题【解答】解：（1）设乙的速度为x米/分钟，解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y米/分，化简，得y=，甲的平均攀登速度是丙的：倍，即甲的平均攀登速度是丙的倍【跟踪训练】1. 若（xy2）2+|xy+3|=0，则（）÷的值是2. 先化简，再求值：（+）÷（+），其中x2+y2=17，（xy）2=93. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（）AB =CD4. 甲、乙两

10、同学的家与学校的距离均为3000米甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？5. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天这项工程的规定时间是多少天？6. 由于某商品的进价降低了，商家决定对该商

11、品分两次下调销售价格现有两种方案：方案1：第1次降价的百分率为a，第2次降价的百分率均为b方案2：第1次和第2次降价的百分率均为（1）当ab时，哪种方案降价幅度最多？（2）当a=b时，令a=b=x，已知第1次和第2次降价后商品销售价格分别为A、B填空：原销售价格可分别表示为、已知B=A，求两次降价的百分率x参考答案;1. 若（xy2）2+|xy+3|=0，则（）÷的值是【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【分析】首先括号内的式子利用分式的减法法则求得，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后利用非负数的性质求得xy和xy的值，代入化简后的式子即可求解【解

12、答】解：原式=y=（xy2）2+|xy+3|=0，xy2=0且xy+3=0，xy=2，xy=3原式=故答案是：【点评】本题考查了分式的化简求值以及非负数的性质，理解非负数的性质：即可非负数的和等于0，则每个数等于0，求得xy和xy的值是关键2. 先化简，再求值：（+）÷（+），其中x2+y2=17，（xy）2=9【考点】分式的化简求值【分析】先将原式进行化简，然后根据x2+y2=17，（xy）2=9求出x+y和xy的值并代入求解即可【解答】解：x2+y2=17，（xy）2=9，2xy=x2+y2（xy）2=179=8，（x+y）2=x2+y2+2xy=17+8=25，x+y=5，xy

13、=4，原式=×÷=×=×=3. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（）AB =CD【考点】由实际问题抽象出分式方程【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，可以列出方程：故选：D【点评】这道题的等量关系比较明确，直接分析题目

14、中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程4. 甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【考点】分式方程的应用【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；（2）300×2=600米即可得到结果【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲

15、步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+=2，解得：x=300米/分钟，经检验x=300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）300×2=600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米5. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天这项工程的规定时间是多少天？【考点】分式方程的应用【分析】设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工

16、程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可【解答】解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得=1解得：x=30经检验x=30是方程的解答：这项工程的规定时间是30天6. 由于某商品的进价降低了，商家决定对该商品分两次下调销售价格现有两种方案：方案1：第1次降价的百分率为a，第2次降价的百分率均为b方案2：第1次和第2次降价的百分率均为（1）当ab时，哪种方案降价幅度最多？（2）当a=b时，令a=b=x，已知第1次和第2次降价后商品销售价格分别为A、B填空：原销售价格可分别表示为、已知B=A，求两次降价的百分率x【考点】分式方程的应用【分析】（1）直接根据题意表示出两种商品的价格，再利用两式的差得出大小关系；（2）利用A销售价格÷（1下降百分率）=原价，B销售价格÷（1下降百分率）2=原价进而得出答案