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1、偏微分方程数值解法试题（专业：凝聚态物理 学号：2013201260 姓名：鄢建军）1. 考虑定解问题（1） 用迎风格式（P.45）求解。利用迎风格式编写Fortran程序语言，运行结果如下：Fig 1. 迎风格式求解结果（2） 用Beam-Warming 格式（P.51）求解。利用BeamWarming格式编写Fortran程序语言，运行结果如下：Fig 2. BeamWarming格式求解结果（3） 比较两种方法结果的异同。将两种格式运行的结果绘制在一起，要求时间步长和空间步长在两种格式中都相同，运行结果如下图所示：Fig 3. 迎风格式和Beam-Warming格式求解结果比较从两种格式

2、的运行结果来看，都存在边缘的误差现象，相比而言，Beam-Warming格式的运行结果差一些。但是理论上分析，迎风格式的截断误差为，而Beam-Warming格式的截断误差为。稳定性上来分析，迎风格式的稳定性较好，要求，Beam-Warming格式的稳定性条件为。2. 考虑定解问题实际计算时，取下列参数：a=1；=2.计算进行到合适的时刻为止。要求：（1） 用加权隐式格式（P.83）求解该问题，研究不同值对解的影响。用加权隐式格式求解该问题，研究不同值对解的影响。采用的差分格式为，其截断误差为：，稳定性条件为：当取不同值，得出的结果不同。当=0.1，0.3，05，0.7，0.9时，得出的结果如

3、下如所示：Fig 4. 不同的值对结果影响从运行结果来看，取不同的时，图像的周期性没有发生改变，在节点处的值都相同；当变大时，图像的振幅变大，u在峰值处越接近于1。（2） 针对所得研究结果，写一封报告。 研究报告分析上述定解问题，为抛物型的常系数扩散方程，初始条件为，其中，边界条件为，由于题目中给出了=2，所以边界条件可以化为。解决此种问题可以采用多种方法进行求解，如：向前差分格式，向后差分格式，加权隐式格式，三层显式格式，三层隐式格式，三层CN格式，跳点格式和预测校正格式等，采用不同的方法，所产生的截断误差不同，同时，稳定性条件和相容性条件也有所不同。在这里，我采用了加权隐式格式求解次问题，这种格式的截断误差为：，稳定性条件为：。由于在这种格式中，当时，加权隐式格式变为CN格式，即CN格式是加权隐式格式的特例。为了研究方便，分别取不同的值，为0.1，0.3，0.5，0.7，0.9。根据稳定性条件，当，和时，格式是绝对稳定的。初始条件进行分析，应该是周期为1的正弦方程，所绘制的图形应该是两个周期。与图4进行对比，发现实验结果与理论结果相符。对边界条件进行分析，在两端点处u=0，此结果也与实验结果相符合。对不同的，实验结果也不同。当越小时，问题的解偏离真实值越大，误差越大；当越接近与1时，问题的解与实验结果符合的很好。因此，可以

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