注册电气公共基础高等数学八2010新版

1、四、微分及其应用（一）微分概念 1 微分的定义设函数 y = f ( x ）在某区间 I 内有定义，。若函数的增量其中 A 是不依赖的常数，则称 y = f ( x ）在点 x0可微分，叫做 y = f ( x ）在点 x0相应于自变量增量的微分，记作 dy ，即函数 y = f（x）劝在点 x 的微分称为函数 y = f ( x ）的微分，记作 dy 或 df ( x)。2 函数可微分的充分必要条件函数y = f（x）在点 x0 可微分的充分必要条件是 f ( x ）在点 x0 可导，且当 f ( x ) 在点 xo可导时，其微分一定是函数的微分是通常把称为自变量的微分，记作 dx ，即于是

2、函数的微分可写成而导数可写成即导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商。（二）基本微分公式与微分法则1 基本微分公式2 函数和、差、积、商的微分法则设函数 u = u ( x ）、v v ( x ）均可微，则3 复合函数的微分法则设 、均可微，则 也可微，且（三）微分的应用由微分的定义可知，当且很小时，有于是可得几个工程上常用的近似公式（假定比较小） :（四）例题 【 例 1-2 -29 】解【 例1-2-30 】解【 例1-2 -31 】计算sin30°30的近似值。 【解 】 把sin30°30化为弧度，得【 例 1-2 - 32 】 计算 的近似值。五、中

3、值定理与导数的应用（一）中值定理 1 若函数 f ( x ）在闭区间 a ，b上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，则至少有一点（ a， b ) ，使得 f ' (） 0。2 拉格朗日中值定理若函数 f ( x ）在闭区间 a ，b上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点（ a， b )，使得下式成立（二）求未定式的值的方法 罗必塔法则1 未定式与的情形关于要的情形：设（ 1 )当 x a （或 x）时， f （x）0 且 F ( x ) 0 ,( 2 ) 在点 a 的某去心邻域内（或当X> N 时） , f '

4、; ( x ）及 F ' ( x ）都存在且F ' （x）0 ,则 若 仍属型 ，且 f ' ( x ）、 F ' （x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，即对于型，也有相应的罗必塔法则，这里不再赘述。2 其他形式的未定式的情形其他尚有 0 · 、-、 00 、 1、0 型的未定式，它们均可通过变形化成或的情形。如 0 ·型可变形成或，-型通过通分，00、1、0通过取对数变形。（三）函数性态的判别 1 函数单调性的判定利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。2 函数极值的判定利用一阶导数判定，如表 1-2-2 所示。利用二阶导

5、数判定，如表1-2-3 所示。3 曲线凹、凸及其拐点的判定利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。连续曲线 y = f ( x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " （x0）=0,而 f " ( x ）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0， f ( xo ) ）就是一个拐点。4 曲线的渐近线若 =y0，则曲线 y = f ( x ）有水平渐近线 y = y0 ; 若 =,则曲线 y f ( x ) 有铅直渐近线 x = x 0；（四）最大值最小值问题设 f ( x ）在闭区间 a , b 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 a ，b上的