二次函数y=ax2+bx+c的性质第二课时

1、22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）一般式法二次函数的表达式一探究归纳问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+

2、c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： 讲授新课讲授新课解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）这种已知三点求二次函数表达式的方法

3、叫做一般式法.其步骤是：设函数表达式为y=ax2+bx+c；代入后得到一个三元一次方程组；解方程组得到a,b,c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得3,2a3.2b所求的二次函数的表达式是2331.22yxx顶点法求二次函数的表达式二 选取顶点（-2

4、，1）和点（1，-8），），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1.所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-h)2+k；先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.例2 一个二次函数的图象经点 (0,

5、1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 9.64a 所求的二次函数的解析式是29(8)9.64yx 解：（-3，0）（）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，所求的二次函数的表达式是y=-(

6、x+3)(x+1),即即y=-x2-4x-3.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式三xyO1 2-1-2-3-4-1-2-3-4-512归纳总结交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；将方程的解代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.特殊条件

7、的二次函数的表达式四例3.已知二次函数yax2 c的图象经过点(2,3)和(1,3)，求这个二次函数的表达式 解:该图象经过点（2,3）和(1,3)， 3=4a+c，3=a+c，所求二次函数表达式为 y=2x25.a=2，c=5.解得关于y轴对称已知二次函数yax2 bx的图象经过点(2，8) 和(1，5)，求这个二次函数的表达式 解:该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做图象经过原点8=4a-2b，5=a-b， 解得a=-1,b=-6. y=-x2-6x.当堂练习当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .234yx= 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)

8、2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO1 2-1-2-3-4321-13452.过点（2，4），），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得 这个二次函数的表达式为y2x23x4.abc1，c4，a-bc-5，解得b3，c4，a2，4.已知抛物线与x轴相交于点A(1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴

9、的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1)又因为抛物线过点M(0，1)，所以1a(01)(01)，解得a1，所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)，即yx21.5.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(4，3)代入yx2bxc得164bc3，c4b19.对称轴是x3， 3，b6，c5，抛物线的表达式是yx26x5；2b(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积(2)CDx轴，点C与点D关于x3对称点C在对称轴左侧，且CD8，点C的横坐标为7，点C的纵坐标为(7)26(7)512.点B的坐标为(0，5)，BCD中CD边上的高为1257，BCD的面积 8728.12