概率论计算习题

1、概率论计算：1已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) (2) (3) (4) 2某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi（I=1,2,3）表示任取一只是第I厂产品的事件，A表示

2、任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式3房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解：由等可能概型有：（1）;（2）46件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。解：设6件产品编号为1，26，由等可能概型5设随机变量X具有概率密度。（1）确定常数k；（2）求P（X>0.1）解：（1）由有（2）6一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备

3、被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则Xb(5,0.1)，于是（1）（2）（3）7设随机变量X的概率密度为求解：8由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数=10.05，=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。解：由题意，所以为9设XN（3，22）求：（1）（2）解：（1）（2）由P>c=P(xc)，即10设随机变量X的分布律为X-2-1013P求Y=X2的分布律。解：Y=X2的全部取值为0，1，4，9且P（Y=0）=P（X=0）=，P（Y=1）=P（X=

4、-1）+P（X=1）=，P（Y=4）=P（X=-2）=，P（Y=9）=P（X=3）=故Y的分布律为X0149P11设二维随机变量（x，y）具有概率密度（1）求分布函数F（x，y）；（2）求概率P（YX）解：（1）（2）12已知（X，Y）的联合分律为 XY01121/81/41/43/8求X及Y的边缘分布律。解：X的分布律为X01PY的分布律为X12P13设随机变量（X，Y）的联合概率密度为，边缘概率密度。解：14设（X，Y）的概率密度为（1）确定常数k；（2）求P（X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度解：（1）（2）（3）15设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3求

5、解：16设Xb(n,p),求E(X),D(X)17设随机变量X在(a,b)上服从均匀分布，求E（X），D（X）。解：X的概率密度为18设随机变量X服从分布，其概率密度为19已知XN（，2），求E（X），D（X）。20在总体N（52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值落在50.8到53.8之间的概率。21已知Xt(n)，求证X2F(1，n)22设为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。23设总体为随机变量X，且E（X）=a（常数，未知），试说明样本平均值是a的无偏估计量。24设总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知，是一个样本，试求a,b的矩估计量。

6、25设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1,6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,5.0。设干燥时间总体服从正态分布N（，2），求的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知=0.6（小时）；（2）若为未知。26随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11（m/s），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。27某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，2均未知，现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 2

7、60 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05）28已知（X，Y）的联合分布律为XY012101/6024/601/6求X及Y的边缘分布律解：X的分布律为X012P0Y的分布律为X12P29设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.330盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是多少？31对于正态总体的大样本（n>30），S近似服从正态分布N(，2/2n)，其中为总全的标准差，试证：的100（r2）%的置信区间为32总体XN（，2）是来自总体区的容量n=16的样本，S2是样本

8、方差33已知离散型随机变量X服从对数为2的泊松分布，即求X=3X-2的数学期望E（X）。34设随机变量X与Y独立，且XN（1，2）YN（0，1）试求X=2X-Y+3的概密度。35设随机变量的分布律为P（Z=K）=，确定a。36设（X，Y）的密度函数为求X，Y的边缘密度函数判别其独立性。37设随机变量（X，Y）的概率密度为求：常数C及联合分布主数F（X，Y）。38设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数求二维随机变量（X，Y）的联合（x,y）解：可验证F（x,y）是连续型二维随机变量的分布函数，则39测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，2为总体方差试

9、在水平a=0.05下检验假设H0:=0.04%, H1:a<0.04%。40设随机变量X的概率密度为求Y=X2的概率密度函数Py(Y)。41设随机变量X的分布函数为求常数A及X的概率密度P（X）。42设随机变量X的概率密度函数是求X的分布函数F（x）43在长为a线段上任取两点M与N，试求线段MN长度的数学期望。44设总体X服从区间，2上的均匀分布，>0是未知参数，是来自总体X的容量为n的样本，记。证明：。45设随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为求X=X-Y的概率密度函数。46设随机变量Z的概率密度为求E（Z）及D（Z）。47对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在a,b内，求圆面

10、积的数学期望。解：设圆直径为随机变量Z，圆面积为Y。48随机向量（X，Y）在区域D=(x,y)|0<x<1,|y|<x|上服从均匀分布。求关于Z的边缘分布并求Z=2Z+1的方差。49设是来自参数为的泊松分布为总体的一个样本，试求的极大似然估计。50已知随机变量Z的分布函数为求E（Z）和D（Z）。51设随机变量（X，Y）的概率密度为(1)确定常数K；（2）求PZ<1.552Z的概率密度为其中>0，为未知参数，求的极大似然估计值。53设总体Z的概率密度为其中>0, 为未知参数，求的矩估计量。54设随机变量Z服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在（0，4

11、）内的概率分布密度函数fy(y)，求fy(y)。55已知P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=,P(AC)=P(B),求A，B，C均不发生的概率。56甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，丙的为0.7，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。解：设A为“甲投中”，B为“乙投中”，C为“丙投中”则57某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i）第一次抽次品。（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品。58若AB，A>C,P(A)=0.9，59对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的

12、合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好的概率是多少？60房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号，求（1）最小号码为5；（2）最大号码煤矿的概率。61一个工人看管12台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为，求这段时间内至少有两台机器需要工人维修的概率。解：设为“K台机器需维修”，则62制帽厂生产帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶。一个采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率。解：设B为“一盒帽子被买下”，Ai为“一盒帽子中有I顶帽子合格”。则63某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，2均未知，现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命