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文档简介

1、浅谈柯西不等式的证明及应用 刘治和 柯西 (Cauchy)不等式,当且仅当时等号成立。现将它的证明介绍如下：证明1（构造法）：构设二次函数恒成立，即当且仅当证明2（数学归纳法）：1）右式=时取等号，故2）假设时，不等式成立，即当且仅当时取符号。且设则当且仅当时取等号，即时不等式亦成立.综合1）、2），可知不等式成立.柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它，可使一些较困难的问题迎刃而解。这个不等式结构对称和谐、应用灵活广泛，深受人们的喜爱。不完全归纳，利用柯西不等式处理数学问题，常见的两大类型有：（1）证明相关的数学命题例1已知正数满足证明：分析：为了吻合问题中的某些式子，将因式拆项

2、，这是柯西不等式应用中常用技巧之一。本题将分别拆项就能达到目的.证明：利用柯西不等式，=又在此不等式两边乘以2，再加，故例2 设若01，且2，求证： （1990年高考题）分析：先把要证结论进行等价转化，使之出现柯西不等式的结构，再用它证明。证明： 只要证明式即可.，左边，即式成立故原不等式得证.例3设P是ABC内一点，是P到三边的距离，R是ABC外接圆半径.证明：证明：由柯西不等式得，.记S为ABC的面积，则故不等式得证.例4若为锐角，且满足求证：（数学通报1993,6问题839）证明：根据已知条件，得而要证不等式等价于.由柯西不等式有：故原不等式成立.（2）求解有关数学问题例5已知，且则的最

3、小值是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）分析：构造两组实数仅当时，故选（B）。应用柯西不等式可顺利解决某些有关含约束条件的多变量函数的最值问题，类似地可做：.设实数满足，求.设实数满足，试求的最大值与最小值.解：根据柯西不等式，有，即.由条件可得，解得12，当且仅当，即时等号成立.代入得时，时，.例6 已知，且，试求的值.这是一道常见题，若变换思考角度，开发人的侧向思维，从柯西不等式结构中得到启迪，会使求解达到更好的效果。解：由已知等式化为 ，将其两边平方再得：0，则即代入已知等式得从这两类题解不难看出，能否成功地运用柯西不等式，关键是对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数式。因此，我们在

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