例题与探究522复数的乘法与除法

1、高手支招3综合探究 进行复数的除法运算的步骤 利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的复数 x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)÷(c+di)或,从而利用复数相等求得x,y的值即可.(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得解这个方程组得于是有(a+bi)÷(c+di)=.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.高手支招4典例精析

2、【例1】已知=1-ni,其中m、n是实数,i是虚数单位,则m+ni=（ ）A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i思路分析:可先将=1-ni去分母后展开化简,再利用复数相等解之.本题也可将等式左边分母实数化,再利用复数相等解之.将=1-ni两边同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由复数相等法则,得从而所以m+ni=2+i.答案:C【例2】复数=( )A.i B.-I C.2-I D.-2+i思路分析:此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共轭复数),化简解得,或由观察得出:将分子化简后,分母乘以i则可以得到分子,从而解得.原式=.答案:A

3、【例3】 若复数z=+i,则1+z+z2+z3+z2 006( )A.0 B.+i C.-i D.-i思路分析:由于z=+i正好是的一个值,故具有特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化简.1+z+z2+z3+z2 006中连续三项的和均为零,由于1+z+z2+z3+z2 006的项数2 007项正好是3的倍数项,故所求的和式为零.答案:A【例4】 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )A.1 B.-1 C. D.-思路分析:要使一个复数为实数,那只需要一个条件:虚部为0.将原式(m2+i)(1+mi)展开,得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令

4、其虚部为零,即m3+1=0,即m=-1.答案:B【例5】若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于( )A.-2 B. C. D.2思路分析:(1+bi)(2+i)=（2-b)+(2b+1)i，依题意2-b=0b=2.答案:D【例6】设a是实数,且是实数,则a等于A. B.1 C. D.2思路分析:先化简,因为是实数，故其虚部为零，即=0，从而得a=1.答案:B【例7】设复数z满足=i,则z等于 ( )A.-2+i B.-2-I C.2-I D.2+i思路分析:由=i，得z=2-i.答案:C【例8】设x、y为实数,且,则x+y=_.思路分析:先将原式两边的分母实数

5、化,然后再利用复数相等即可求得x+y的值.将原式分母实数化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用复数相等的充要条件得x+y=4.答案：4【例9】 计算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)(i)6.思路分析:(1)充分利用(1±i)2=±2i及i4n+k=ik将高次冥化为低次冥.(2)利用的性质解答.解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4×501+2+2(1+i)24-25=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25

6、=255-i;(2)=+i,-i=-,(-i)6=(-)6=(3)2=1.【例10】 已知复数z=,若z2+az+b=1+i,试求实数a、b的值.思路分析:要求实数a、b的值,需先确定复数z的值,而要确定复数z,需对复数z进行化简,主要通过复数乘方,加减运算,最后通过分母实数化,从而化得结果.解:z=1+i,z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由已知z2+az+b=1+i,实数a、b的值分别为-1,2.【例11】 已知f(z)=2z+-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析:需要先利用已知式求出z,再将-z代入f(z)=2z+-3i中计算

7、.解:f(z)=2z+-3i,f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i,又知f(+i)=6-3i,2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i,设z=a+bi,则=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,解得a=2,b=1,z=2+i,f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】 计算:(i)12+()8.思路分析: i=i(+i),1-i=(-2)(+i)，由此,原式可以化简.解:原式=i12(+i)12+=1·1+=1+16(+i)=-7+8i.【例13】 已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z

8、1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.思路分析:(1)求模应求出复数的实部与虚部，再利用|a+bi|= 得出.(2)是考查复数几何意义的应用.解:(1)z1=i(1-i)3i(-2i)(1-i)=2(1-i),|z1|.(2)|z|=1可看成半径为1、圆心为(,)的圆,而点Z1可看成在坐标系中的点(2,-2),|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由右图可知|z-z1|max=2+1.【例14】 证明:在复数范围内,方程|z|2+（1-i）-（1+i）z=(i为虚数单位)无解.思路分析:将已知条件化简后再由复数相等来解.证明：原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.设z=x+yi(x、yR）,代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i.将(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.=-16<0,方程f(x)无实数解,原方程在复数范围内无解.高手支招5思考发现1.利用某些特殊复数的运算结果,如(1±i)2=±2i,(±i)3=1,=-i,=i,=-i,i的幂的周期性,对于简化复数的运算大有好处,在计算上经常用的结论最好能熟记