圆与椭圆知识点及题型归纳

1、精选优质文档-倾情为你奉上（一）圆一：圆的方程1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的方程：圆心在原点的圆的标准方程：2. 圆的一般方程：，（）说明：和项的系数相等且都不为零；没有这样的二次项表示以为圆心，为半径的圆二：直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点2直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法：判断直线和圆的位置关系，可将消去（或），得（或）当时，直线与圆相交，有两个公共点；当时，直线与圆相切，有一个公共点；当时，直线与圆相离，无公共点 几何法：已知直线和圆，可用圆心到直线的距离与的大小关系判断直线与

2、圆的位置关系当时，直线与圆相交，有两个公共点；当时，直线与圆相切，有一个公共点；当时，直线与圆相离，无公共点；三：圆与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：圆的标准方程，圆心，半径，若点在圆上，则；若点在圆外，则；若点在圆内，则；反之，也成立.2.圆与圆的位置关系：如图，平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断几何法：判断圆与圆的位置关系可以利用两圆圆心距与两圆的半径的关系进行判断：外离；外切；相交；内切；内含代数法：两圆的位置关系也可以利用两圆方程所构成的方程组的解判断：当方程组无解时，两圆外离或者内含；当方程组只有一解时，两圆外切或者内切；当方程组有两解时，两圆

3、相交由于“代数法”计算量大，运用不方便，所以一般情况下利用“几何法”来判断两圆的位置关系考点1：圆的方程例1.（1）以点，为直径端点的圆的标准方程为（2）若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则例2.（1）圆心在直线上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为A BC或D或（2）对于，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程是ABCD考点2：圆的切线问题例3.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为ABCD考点3：相交、弦长问题例4.（1）若直线被圆截得的弦长为4，则圆的半径为AB2CD6（2）已知是圆内过点的最短弦，则等于ABCD考点4：公切线问题例5.已知两圆，当圆与圆有且仅有两条公切线时

4、，则的取值范围考点5：最值问题例6.圆，圆，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值A6BC7D10课后练习：1.以点，为直径端点的圆的标准方程为2.方程表示圆，则的范围是ABCD3.已知圆，点，从点观察点，要使视线不被圆挡住，则实数的取值范围为AB，C，D4.已知是圆内过点的最短弦，则等于ABCD1、 答案为：2、选：3选：4、选：椭圆及其性质知识梳理1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 2椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)(2)中心在坐标原

5、点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)3椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，ab离心率ea，b，c的关系a2b2c2题型归纳题型1 椭圆的定义及其应用【例1-1】（2019秋盐田区校级期中）已知F1（3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|10，则动点M的轨迹方程 【例1-2】（2019新课标）设

6、F1，F2为椭圆C：+1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 题型2 椭圆的标准方程【例2-1】（2020春黄浦区校级期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的标准方程为 【例2-2】（2019秋伊春区校级期中）过点（，），且与椭圆+1有相同的焦点的椭圆的标准方程 求椭圆方程的2种方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21

7、(m0，n0，mn)，再用待定系数法求出m，n的值即可题型3 椭圆的几何性质【例3-1】（2020邵阳三模）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）ABCD【例3-2】（2020襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD求椭圆离心率的三种方法1直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值2构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关

8、于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解3通过取特殊值或特殊位置，求出离心率直线与椭圆的位置关系知识梳理1焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.2AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l|x1x2| |y1y2|；(2)直线AB的斜率kAB.题型归纳题型1 直线与椭圆的位置关系【例1】（2019秋大兴区期中）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点（1，）（1）求椭圆C的标准方程；（2）当m取何值时，直线yx+m与椭圆C：有两个公共点；只

9、有一个公共点；没有公共点？判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点题型2 弦长问题【例2】（2019秋路南区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4（1）求椭圆方程；（2）过P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长1弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|AB

10、|x1x2|；|AB| |y1y2|(k0)；|AB| ；|AB| .2弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程ykxb便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为myxa可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”题型3 中点弦问题【例3-1】（2019秋海淀区校级月考）已知：椭圆+1，求：（1）以P（2，1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程1.处理中点弦问题常用

11、的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解2.求解椭圆上对称问题的常用方法（1）将对称两点所在的直线方程与椭圆方程联立，由0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围（2）用参数表示中点坐标，利用中点在椭圆内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围题型4 椭圆与向量的综合问题【例4-1】（2020春山西期中）设点M和N分别是椭圆C：1（a0）上不同的两点，线段MN最长为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN过点Q（0，2），且0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围【例4-2】（2019秋洛阳期末）已知P（2，0）为椭圆C：1（ab0）的右顶点，点M在椭圆C的长