2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 届山西省太原市第五中学高三 11 月阶段性考试数学（理）试题一、单选题21 1 .已知集合A xRx x 60,B x Rnx e，则（）. .A A.AI BB B.AU B RC C.B eRAD D.A B【答案】B B【解析】根据一元二次不等式的解法求得A A 集合，再求得 A A 的补集，根据集合的运算可得选项. .【详解】由 A A 中不等式变形得：x 2 x 3 0,解得x3或x 2，即A , 3 U 2, B ne,eRA3,2,. AI B n 3 U 2,e,AUB R. .故选: :B.B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交

2、并补运算，属于基础题. .2 2 .若Z 1 2i，则4i zz 1A A . 1 1B B. -1-1C C. i iD D. -i-i【答案】 C C【解析】 试题分析：4i4ii，故选 C C.zz 1(12i)(12i) 1【考点】 复数的运算、共轭复数.【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把j2换成-1.-1.复数除法可类比实数运算的分母有理化.复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的 几何意义进行理解.3 3 下列结论错误的是（）第2 2页共 1919 页A A 命题 若p，则q

3、”与命题 若q,则P”互为逆否命题;第3 3页共 1919 页xB B .命题p : x 0,1, e 1，命题q: xC C .若am1 2bm2,则a b ”的逆命题为真命题；D D 若，为假命题，则P、q均为假命题.【答案】C C【解析】 试题分析：由原命题、逆否命题形式可知选项A A 正确，选项 B B 中，命题p为真命题，命题q为假命题，所以pq为真，若am2bm2,则a b的逆命题为 若则am2bm2”，当m 0时，不成立，所以为假命题，选项D D 为真命题.选 C.C.1一看角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公 式；2二看 函数名称”，看函数名称之间

4、的差异，从而确定使用的公式；2 /R, x x 1o,则p q为真;【考四种命题之间的关系和真值表4 4.sin47sin17cOs30cos17cos17o oB B.D D .仝2【答【解由sin 47sinoo3017,利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，第4 4页共 1919 页化简即可【详解】不等式f log1x0的解集为()45 5.已知定义在R上的可导函数x是偶函数，且满足xf x0，则sin4700 0sin17 cos30sin(17cos17030 ) sin 17 cos30cos17sin17 cos30 cos17cos17sin30Siscos3。眛。1.故选

5、C.2【点三角函数式的化简要遵循看”原则:12,2第5 5页共 1919 页B B.-,1 U 1,2211C C.,12,D D.0,U2、22【答案】D D【解析】由已知条件得出函数f X的单调性，再结合其奇偶性，建立不等式，解之可得解集 【详解】/ f X是定义在R上的可导函数，且是偶函数，且满足xf X 0,当x0时，fx0,f x单调递增；当x0时，f x0,f x单调递减. .上110.11又f 0, f不等式f log1x0log1xlog1x 224222或log1x1 01x -或x2. .4221不等式的解集为：0, U 2, 2故选: :D.D.【点睛】本题综合考查运用导

6、函数研究函数的单调性，结合奇偶性求解不等式的问题，关键在于由已知条件得出导函数的正负，得出原函数的单调性，属于中档题6 6.将函数y cosx sinx的图像先向右平移0个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到ycos2xsin2x的图像， 贝y,a的可能取值为()c c3 33 31 11 1A A .,a,a 2 2B B.,a,a2 2C C.,a,aD D.,a,a2 2 8 88 8 2 22 2 2 2【答案】D D【解析】由题意结合辅助角公式有：ycosx sin x - 2 cos x4第6 6页共 1919 页将函数y cosx sinx的图像先向右平移0个

7、单位,第7 7页共 1919 页所得函数的解析式为：y . 2 cos x4再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍,一1所得函数的解析式为：y cos xa4，据此可得:本题选择 D D 选项. .为()【答案】B B=-t t,即当 n n= 1010 时，S Sn取得最大值.8 8 已知一个项数为偶数的等比数列an，所有项之和为所有偶数项之和的4 4 倍，前 3 3项之积为 6464,则a1(). .A A. 1111B B. 1212C C. 1313D D. 1414【答案】B B【解析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前 3 3 项之积

8、可求得a2，从而求得首项 【详解】由题意可得所有项之和S奇S偶是所有偶数项之和的 4 4 倍， S奇S禺4S偶，1而y COs2xsin 2x2 cos 2x一4据此可得:7 7 .设等an的前n项和为Sn，ai0且h，当Sn取最大值时，n的值a511B B.10C C.11D D.12【解析】由题意，不妨设 a a6= 9t9t, a a5= 11t11t,则公差 d d= 2t2t，其中 t0t0，因此 a a10= t t, anan第8 8页共 1919 页设等比数列an的公比为q，由等比数列的性质可得S偶qS奇，即S奇一S偶，q11-S偶S偶4S偶,TS偶0, ,解得q -,q3第9

9、 9页共 1919 页_3a2又前 3 3 项之积a1a2a3a264，解得a24印-12. .q故选: :B.B.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题 9 9已知ABC中，三个内角A, B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积为S,且2S(a b)2c2，则tanC等于( () )3443A A - -B BC CD D4334【答案】 C C【解析】 根据面积公式，将2S (a b)2c2变形为abs in C2ab a2b2c2，又a2b2c2sin CcosC,两式结合化简可得cosC 1再利用二倍角公式化简得2ab2C到tan2，

10、从而可求得tanC. .2【详解】由2S (a b)2oc得2Sa2b22ab c2,即12absi nC22ab22ab c2,则abs inC 2ab2ab22c,又因为cosC2 . 2a b2c2absin C所以cosC1 22C.CC即2cos2sin cos222，2abC所以tan2即tanC2C2ta n 22C1 tan22 _222故选 C.C.【点睛】本题考查三角也考查了三角函数的二倍角公式，熟练掌absin C 2ab sinC 1,2由C (0,第1010页共 1919 页设 ABD的边AB上的高为h1,VACD的边AC上的高为h?,11S. 223SVABD2SV

11、ACD，32，S 13. .2故选: :C.C.【点睛】本题考查向量的线性关系， 关键在于由向量的线性关系转化为三角形的面积关系，属于中档题 ,1 uu1uur1 1则_AE 0 -AF， 一 222 311 uujrh| AC h2，即22握定理和公式是解题的关键，属中档题uur1010 在VABC中，若AD1 uuu 1 UULT-AB -AC,3记sSAABD,S2SAACD,S3S BCD,则下列结论正确的是（S3A $B B.S2sS22C 3s s216DS3【答【解作出图示如下图所示,根据向量的线性运算和平行四边形的性质可得出三角形的面积关系 【详AF，二四边形AEDF是平行四边

12、形,11 uu32ABh11lACh22如图,3uuur ujin则AD AESVADESVADF，【详解】第 7 7 页共 1919 页1111.设不等式 x x2-2ax+a+2-2ax+a+2W0勺解集为 A A ,若 A?A? 11 , 33,贝U实数 a a 的取值范围是（）A A .1,115【答案】A A解：设f(x)x22ax a 2，则不等式x22ax a 2 0的解集A 13,若A，则V 4a24( a 2)v0,即a2a 2v0，解得1v av2【点睛】 本题考查了一元二次不等式，二次函数零点分布，属于基础题1212 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面

13、积为（）11nA A .B B.6nC C.11nD D .24 n4【答案】C C【解析】根据三视图得出几何体的直观图如下图所示，设现球心的坐标，根据球心到几 何体上的每一点的距离相等，求得球心的坐标，得出球半径，利用球的表面积公式可求得几何体的外接球的表面积 D D.1,【解析】由不等式x22ax a 20的解集A13，不等式左边可看做二次函数,分A和A【详解】结合二次函数图像进行讨论即可0f 10若A，则f 30，1 a3综上111a5，故实数a的取值范围是f11 a5故选 A A.第1212页共 1919 页建立如图所示的空间直角坐标系，几何体的外接球的球心坐标为O 1,1,z, ,P

14、 2,0,1，由OP OA，得119 .11I一 一 _,4 4 4 211z2，解得z 443，所以外接球的半径为2该几何体外接球的表面积为11n. .故选: :C.C.【点睛】本题考查由三视图得出原几何体和几何体的外接球的表面积,原几何体，求出几何体和外接球的球心和半径，属于中档题关键在于由三视图正确还、填空题1313 若tan-，则cos221【答案】丄3【解析】根据余弦的二倍角公式转化成关于正弦、余弦的齐次式,再运用关于正切的表达式，代入可得值【详tancos22cos2sin2.22cossin1&21 tan22 11 tan21、2232由题意可知几何体的直观图如下图所1

15、第1313页共 1919 页故答案为：丄. .3【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，正弦、余弦的齐次式，同角三角函数的关系中的商数关系,属于基础题. .1414 .已知正数a,b满足ab 2a b，则a b的最小值为 _【答案】3 2,2【解析】 将等式ab2a b两边同除以2 2 1 1ab，得1 1，再对“ 1 1 巧妙地运用b b a aa ba b12c b 2a3 -运用基本不等式可得最小值 aba b【详解】2 2 1 1 将等式ab 2a b两边同除以ab，得一1，且a 0, b 0,b b a aa bab1-c b 2a3 -32 2,a ba b当且仅当b a2a时，即bb

16、, 2a时，与 亍ab 2a b联立得，a 1.2，b 22时，等号成立 故答案为：3 2、2 【点睛】本题考查基本不等式的运用，关键在于将所给的已知条件转化为“1 1 的形式，构造成基本不等式所需的形式，属于基础题 1515 设数列an的通项公式为an= 2n-1，且bnanan1 an 1数列bn的前n31【答案】66【解析】代入数列an可求得值【详解】bn的通项公式裂项,运用裂项求和法,由an= 2，可得bnanan1an 112n12n 11 2n112n 11项和为Tn，则T5_第1414页共 1919 页【点睛】 本题考查对数列的通项裂项， 运用裂项求和法求数列的和， 解决的关键在

17、于正确地裂项,运用时注意项的脚标，属于中档题 m,n，若f x在0,上的值域与函数f f x在m,n上的值域相同，则实 数a的取值范围为_ . .【答案】2,【解析】对f x求导，分析导函数的正负，得到函数f x的单调性，进而得其值域,【详解】1 1201 2 111L11113124552 1 2121 2 12 216631故答案为：661616 .已知函数3ln x12ax2a 3 x 2a 1 a 0,f x 0的解集为再设t f x,由已知得需f 1解之求得a的范围. .由已知得函数fx的定义域为0,，且ax2ax a33x3ax 3 x 1, a 0,0,1上单调递增，在1 1上单

18、调递减;f x在0,上的值域为根据题意有f 14 0；f x2；0的解集为m,n,则设t fx,当x m,n时，t fx0, f 1;f x在0,函数f fx在m,n上的值域相同；即ft在0, f 1上的值域为，f1;只需f11，即f 1上的值域与1第1515页共 1919 页得a 2. .第1616页共 1919 页故答案为：2,【点睛】本题考查运用导函数分析原函数的单调性、值域，关键在于根据已知的值域间的关系建立关于a的不等式，属于难度题. .三、解答题1717 在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知1 cos B si nAbecos Asin Ba c(1) 求角A的大

19、小；(2) 若VABC的面积为,b c 3，求a. .22n_【答案】(1 1)n(2 2) . 7 73a c b c【解析】(1 1)根据正弦定理将已知进行边角互化得，再根据余弦定理求得b a ccosA，由三角形的角的范围可求得角A;(2 2)根据三角形的面积公式得出bc，又根据b c 3，和余弦定理可求得边a. .【详解】(1)根据正弦定理由1 cosBsinAcosA ,得sin Ba c【点睛】sin A sin AcosB cos AsinBsin A si nAB所以b2sin Bsin Bsin A sinCsin B(2)b2c2a2bc，所以cosA1bcsin A2c2

20、bc2b c bc 9bc2bc0, n,2n所以A33，所以2 7,所以a .7. .本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理,以及三角形的面积公式,关键在于熟悉公式第1717页共 1919 页的结构，合理选择公式运用边角互化，属于中档题1818 已知数列an中,a1 1，an1為山N*)-第1818页共 1919 页(1)求证:11an3是等比数列，并求an的通项公式an；(2)数列bn满足bn(41)即an,求数列bn的前n项和Tn. .【答案】(1)(1)答案见解析;15Tn匚2n 54Y7【解析】 试题分析: 根据数列的递推关系， 结合等比数列的定义即可证明an等比数列，并求an的通项公

21、式an，利用错位相减法即可求得答案;解析：(1 1) a ananan4an4anbn1111 4nan 13an3114a11,a13311是以-为首项，以an331 14 ,n 14an3314n1an3 ，3*annN4n1n 12)bn4n1nan,3n1N4 4 为公比的等比数列bn(ananan 13n1Tnbi b2331n3n 2n3n1818 已知数列an中,a1 1，an1為山N*)-第1919页共 1919 页2第2020页共 1919 页若 I I：是正三角形，求三棱柱广的体积. .【答案】（1 1）见证明；（2 2）4 4【解析】（1 1）分别证明工八再门和*门亠匸

22、1 1：，结合直线与平面垂直判定，即可。（2 2）法一：计算 $AAB$AAB，结合 V Vc c_ _A A aBaB= =AJAJ CFCF 和讣心 y y G G AABAAB，即可。法二 计算V VABBABBl lA A1 1-PCC-PCC1 1a|,亍故” A A 冋CL=小L- - PCC,QPCC,Q = =；，故三棱柱2C人 2,2, 1 1 的体积为甘. .中，由(1)(1)得江?，是三棱锥|二心甘寸的高，6 6 分 记到平面二：的距离为论.由V VC-C- ABDABD ABCABC 加 3 3 心=1%D二 2 2 呂曲口2|ABD|ABD = =ADB = 2ra2

23、ra，在中，典& /) I I，金沁1D =亍，(2)(2)法故三棱柱的体积=，故三棱柱且高一样,餡财 CECE51X XMx x sinj I I为的中点，故|寸到平面乂啟；的距离为法三、在三棱锥 J-ABDJ-ABD法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因故V VAfiCAfiC - - 1 1 占|亡广V VATCATC - - A At tQC,QC,C1?AE-d，即第2222页共 1919 页故三棱柱iWCiWC - - 2 2 心的体积为扌【点睛】 本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大。2020已知f X Iog99X1-X为偶函数,2(1(1)

24、求实数 k k 的值;【答案】(1 1)-1-1( 2 2)a a 0 0【详解】Iog99X1Iog93xIog92 3Xx log92 3Xa. .(2)若X 0,1时，函数fX的图象恒在g图象的下方，求实数a a 的取值范围. .【解析】(1 1)根据函数f X是偶函数得1 1，代入可求得实数k的值;(2(2)根据已知Iog99Xlog92 3X0,1时恒成立，对 a a 进行参变分离a 3X0,1恒成立，y 3X扌在X 0,1上单调递增，可得实数a a 的取值范围. .(1) T f XIog99X1-x为偶函数,21 1 ，即,_ k 10 kIog910 2 log9 2，二k1.

25、 .(2)由题意可得X 0,1时，Iog99XlOg92 3Xa恒成立，即即lOg99X13XlOg92 3Xa恒成立,所以9X33Xa恒成立，且2 3X0，即aX1337在X0,1恒成立,3因为y3X0,1上单调递增，所以08，所以aymin，3所以 a a0.0.第2323页共 1919 页【点睛】第2424页共 1919 页本题考查根据函数的奇偶性求参数的值，将两个函数的图象关系转化为建立两函数的恒成立的不等式，运用参变分离和恒等式的思想， 从函数的最值方面求解是解决此类问题 的常用方法，属于难度题. .2121.已知函数f(x) In x 2ax, a R. .(1)(1)求函数 f(

26、x)f(x)的单调区间；若不等式f(x) x ax2在x 1时恒成立，求a的取值范围.【答案】(1 1)见解析；(2 2)1,0【解析】(1)(1)本题首先可以对函数f x进行求导，然后通过对a 0以及a 0两种情况进行分类讨论，分别求出每一种情况下函数f x的单调性，即可得出结果;2 2Inx ax 2a 1 x 0在x 1时恒成立，然后令g x Inx ax 2a 1 x，再对函数gx的导函数g x的性质进行分类讨论，即可得出结果【详解】1c12ax ,小、(1 1)fx2a,(x 0),xx若a0,f x0,f x在(0,+?)上单调递增；1 1若a 0, ,当0 x时，f x 0,当x

27、时，f x 0,2a2a11所以0,是函数f x的单调递增区间，是函数f x的单调减区间,2a2a1 1当a 0时，f x的单调递增区间为0,，单调递减区间为，.2a2a(2 2)由题意可知，不等式可转化为Inx ax 2a 1 x 0在x 1时恒成立,令g xInx ax22a1 x, x 1,g x12ax2a 122ax2a 1 x 1 2ax 1 x 1xxx，若a0, 则gx 0,g x在(1,+?)上单调递减，所以g xg 1a 1，不等式恒成立等价于a 1 0，即1 a 0；(2)(2)本题首先可以将不等式2x x ax在x 1时恒成立转化为综上所述，当a 0时,x的单调递增(。

28、 ，+?)；11,第2525页共 1919 页本题考查了函数以及导函数的相关性质，主要考查通过导函数性质来求出函数单调性以 及通过构造函数并判断函数性质来求不等式恒成立问题, 思想以及化归与转化思想，体现了综合性，是难题.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为p2421 3si n2(1(1)求曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程;(2(2)若曲线C上的动点M至煩线I的最大距离为 乞13，求 m m 的值. .132【答案】(1 1)C :- y21，直线l的普通方程为:4试题解析:若01，则右1，当1 x丁时,2 2a2agx 0，当x 时，gx0,12a、 、1上单调递减，g x在，+2a上单调递增,所以g xgJ2a1若a ,当x 1时,2所以g xg 1,综上所述，1a 0.g x 0,g x在(1, +?)上单调递增,考查推理能力，考查函数方程，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线I的参数方程为x 6t m(t为参数，m R). .y、3tx23y m 0(2 2)【解析】试题