114直接证明与间接证明

1、系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）114配套作业及资料请入群直接证明与间接证明（听课盘）知识梳理1直接证明2间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明 方法1 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出法，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出命题的结论成立为止；结论断言假设不成立，从而肯定原2 好教育云平

2、台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）自测1概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)证明不等式 2 7 3 6最适合的方法是分析法()(3)反证法是指将结论和条件同时，推出()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(1) (2)(3)(4)2衍化(1)(选修 A22P90 例 5)用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a，b，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为()A. a，b，c 中至少有两个偶数B. a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数C. a，b，c 都是奇

3、数D. a，b，c 都是偶数Ba，b，c 中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其均为奇数或 a，b，c 中至少有两个偶数故选 B.有 a，b，c(2)(选修 A22P89T2)设 ab0，m a b，n ab，则 m，n 的大小关系是mn解法一：(取特殊值法)取 a2，b1，得 m0，n0，则 m2n2ab22 ab2 b22 ab0，m2n2，m0，b0，且 ab4，则下列不等式中恒成立的是(abab2b)1 111A.ab2B.ab1 11D.C. ab2a2b28D3 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）a2b22ab，2(a2

4、b2)(ab)216. 11a2b28，.故选 D.a2b28(2)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 (填序号)取 a2，b1，则 a2b22，从而推不出能够推出，即若 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1.用反证法证明如下：假设 a1，且 b1，则 ab2 与 ab2因此假设不成立，所以 a，b 中至少有一个大于 1.题型 1分析法的应用 11a2典例已知 a0，证明：a2 2aa2.本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法 11a2证明要证a2 2aa2， 11只需证a 2a(2 2)a2a1因为 a0

5、，所以aa(2 2)0，1 212(22) ，所以只需证a 2aa2a1即 2(2 2)aa84 2，1只需证 aa2.11因为 a0，aa2 显然成立aa1时等号成立，所以要证的不等式成立4 好教育云平台系列四 相关讲解请入群方法技巧2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）1分析法证明问题的策略(1) 逆向思考是用分析法证题的主要思想(2) 证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题 得证2分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围已知条件与结论之间的不够明显、直接证明过程中所需

6、要用的知识不太明确、具体含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的冲关(2018证明训练期末)已知 xy0，m0.用分析法证明： xy(2要用分析法证明： xy(2 xy)1，xy)1.只需 2 xy( xy)21， 只需( xy)22 xy10， 即( xy1)20，因为 x，y0，且( xy1)20 成立， 所以 xy(2 xy)1.题型 2综合法的应用设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：典例a2b2c21(1)abbcca3；(2) b c a 1.证明 (1)由 a2b22ab， b2c22bc，c2a22ca 得a2b2c2

7、abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，5 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）即 abbcca1.3当且仅当“abc”时等号成立a2b2c2(2)因为b b2a， c c2b， a a2c，当且仅当“a2b2c2”时等号成立，a2b2c2故b c a (abc)2(abc)， 即b c a abc.所以b c a 1.a2b2c2a2b2c2方法技巧1. 利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件

8、明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型2. 综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意 函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用见典例(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通证明n公式冲关训练(2017黄冈模拟)设数列an的前 n为 Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)其中 m 为，且 m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比 qf(m)，数列bn满足 b1a1，bn3f(bn 1)(nN，n2)，2 1 求证：为等差数列bn证明 (1)由(3m)Sn2manm3，得6 好教育云平台系

9、列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）(3m)Sn12man1m3.两式相减，得(3m)an12man，m3，an12m m3，an是等比数列an(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，a11.b1a11，qf(m) 2m ，当 nN 且 n2 时，m33 2bn1 3 1 11bn2f(bn1)2b b3b 3b 3.n n1nn1bbn13bn1n 1 1是首项为 1，公差为 的等差数列bn3题型 3反证法的应用x2直线 ykxm(m0)与椭圆 W： 4 y 1 相交于 A，C 两点，O 是2典例坐标原点(1) 当点 B 的坐标为

10、(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；(2) 当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点，求对角线的 斜率，研究其是否垂直解(1)因为四边形 OABC 为菱形，AC 与 OB 相互垂直平分1t21可设 At，2，代入椭圆方程得441，即 t 3，所以|AC|2 3.(2)证明：假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是 W 的顶点，且 ACOB，所以 k0.x24y24，由消 y 并整理得ykxm，(14k2)x28kmx4m240.x x 4km 122设 A(x ，y )，C(x ，y

11、 )，则，112214k27 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）y1y2x1x2 mkm2.2214k4km mAC 的中点为 M，.2214k14k因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0，k0，所以直线 OB 的斜率为 1 .4k1 因为 k4k1，所以 AC 与 OB 不垂直所以四边形 OABC 不是菱形，与假设所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形方法技巧反证法的适用范围(1)性命题；(2) 命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3) 当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少

12、，且不容易说明，而 其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而情况很少冲关训练(2017济南质检)若 f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数 h(x)是区间a，b上的“是否光军”x2，请说明理由函数？若，求出 a，b 的值；若不 1解 假设函数 h(x)在区间a，b(a2)上是“光军”函数，因为 h(x)x2 1在区间(2，)上单调递减，x28 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘） 1b，h(a)b，a2即 1所以有h(b)a，a，b2解得 ab，这与已知故不1(2014山东高考)用反证法证明命题“设 a

13、，b 为实数，则方程 x3axb0至少有一个实根”时，要作的假设是(A方程 x3axb0 没有实根)B. 方程 x3axb0 至多有一个实根C. 方程 x3axb0 至多有两个实根D. 方程 x3axb0 恰好有两个实根A因为“方程 x3axb0 至少有一个实根”等价于“方程 x3axb 0 的实根的个数大于或等于 1”，因此，要作的假设是方程 x3axb0 没有实根故选 A.2(2017郑州模拟)设 x0，P2x2x，Q(sinxcosx)2，则()APQABP0，所以P2；又(sinxcosx)21sin2x，而sin2x1，所以 Q2.于是 PQ.故选A.期中)若 abc，则使 1 1恒

14、成立的最大的正整数 k k3(2016abbcac为()A2B3CC4D5abc，ab0，bc0，ac0，且 acabbc.acacabbcabbcbcab又2224，当且仅abbcabbcabbc当 abbc 时等号成立acacka ，k4，故 k 的最大整数为 4.故选 C.bbc9 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群用户前四次输入四位数字（听课盘）4(2017海淀区二模)一位均不正确，中，每次都有两个数第五次输入正确，事后发现前四次输入的字正确， 但它们各自的位置均不正确 已知前四次输入分别为3406,1630,7364,6173，则正确

15、的中一定含有数字()A4,6B3,6C3,7D1,7D若正确的中一定含有数字 3,6，而 3,6 在第 1,2,3,4 的位置都有，与它们各自的位置均不正确同理正确的中一定含有数字 4,6 或 3,7 不正中一定含有数字 1,7，而 3,6 在第 1,2,3,4 的位置都有，根据它们确若正确的各自的位置均不正确，可得 1 在第三位置，7 在第四位置故选 D.10 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）基础送分提速狂刷练一、选择题1(2018无锡质检)已知m1，a m1 m，bm m1，则以下结论正确的是(Aab CabB)Ba m m10

16、(m1)， 1 1，即 a0，则三个数xz，xy，zy)A都大于 2C至少有一个不小于 2 CB至少有一个大于 2D至少有一个不大于 2yyzzxxyxzxyz由于xzxyzyxyxzzy2226，yyzzxxxz，xy，zy中至少有一个不小于 2.故选 C.abc，且 abc0，求证： b2ac0 C(ab)(ac)0CBac0D(ab)(ac)0b2ac 3ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选 C.21 m恒成立，那么 m 的最大值等于(4已知 a0，b0，如果不等式ab2ab)A10B9C8D711 好

17、教育云平台系列四 相关讲解请入群B2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）a0，b0，2ab0.21ba不等式可化为 mab(2ab)52ab.ba52ab549，即其最小值为 9，当且仅当 ab 时等号成立m9，即 m 的最大值等于 9.故选 B.5设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，若 x1x20，则 f(x1)f(x2)的值( A恒为负值C恒为正值A)B恒等于零D无法确定正负由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1x20，可知 x1x2，f(x1)f(x

18、2)f(x2)，则 f(x1)f(x2)abc Ba2b2c2abbcac Ca2b2c22(abbcac)C)c2a2b22abcosC，b2a2c22accosB， a2b2c22bccosA，a2b2c22(a2b2c2)2(abcosCaccosBbccosA)a2b2c22(abcosCaccosBbccosA)N 时，恒有|anA| 成立，就称数列an的极1 1 1 1 1 限为 A.则四个无穷数列：(1) n2n；23222n 122n1.其极限为 2 的共有个n2对于，|an2|(1)n22|2|(1)n1|，当 n 是偶数时，|an2|0，当 n 是奇数时，|an2|4，所以

19、不符合数列an的极限的定义，即 2 不是数列(1)n2的极限；对于，由|an2|n2|，得 2nN 时，恒有|an2|，即 211 1 1 1 2不是数列n 的极限； 对于 ，由|an 2| 23222n 121 112n 222n1log2，即对于任意给定的正数 (无论多小)，总112正整数 N ，使得 nN时， 恒有|an 2|成立，所以 2是数列 11 1 1 2n1111 2n，22223n2n 1n即对于任意给定的正数 (无论多小)，总正整数 N，使得 nN 时，恒有|an2|1，nN*，若不等式n a1a1恒成立，则 n 的最小值为n2n1 时，结论不成立n2 时，不等式为 a1a1，2即 2 a20，a1，则 a有意义，不等式恒成立 112设非等腰ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 1abcb 3，则 A，B，C 的关系是abc2BAC 11 3，abcbabc ac2b 3，(ab)