八年级数学三角形小专题训练18教师版

1、专题1 三角形的中线与面积方法指导:三角形的中线将三角形的面积平分,寻找“等底”或“同高”是解题关键.1.如图,CD是ABC的中线,则( A )A.SACDSBCD B. SACDSABC C. SACD2SBCD D.以上各项均不正确 2.(武昌区月考)如图所示,在ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且ABC的面积是4cm2,则阴影部分的面积等于( B )A.2 cm2 B.1 cm2 C.0.25 cm2 D.0.5 cm23.如图,AD是ABC的中线,DE是ADC的高线,AB3,AC5,DE2,那么点D到AB的距离是( A )A. B. C. D. 24.如图,在A

2、BC中,AD,BE是两条中线,则SEDC:SABC 1:4 . 5.(青山区期末)在ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点E作垂线交BC于点F,已知BC10,ABD的面积为12,则EF的长为 2.4 .6.如图,ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,若SABC12,则图中阴影部分的面积是 4 .7.如图,ABC的面积为1第一次操作:分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使A1BAB,B1CBC,C1ACA,顺次连接A1,B1,C1,得到A1B1C1,第二次操作:分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2使A2B1A1B1,B2C1B1C1,C2A1

3、C1A1,顺次连接A2,B2,C2,得到A2B2C2按此规律,要使得到的三角形的面积超过2018,最少需经过 4 次操作.8.(硚口区期中)如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(1,2),且与|a2b4|互为相反数.(1)求实数a与b的值;(2)在x轴的正半轴上存在一点M,使SCOMSABC,请通过计算求出点M的坐标;(3)在坐标轴的其他位置是否存在点M使SCOMSABC成立?若存在,请直接写出符合题意的点M的坐标.【解析】(1)a2,b3.(2)M点的坐标为(,0).(3)(,0),(0,5),(0,5).专题2 三角形的内角和与三角形的角平分线、高一、三角形的内角和与三

4、角形的角平分线1.(武昌区期中)如图,在DBC中,CA平分DCB,B30°,BCA45°,则D( D ).A.55° B.80° C.70° D.60°2.(武珞路中学月考)如图,在同一平面内,四条线段AB,BC,CD,DA首尾顺次相接,AD,BC相交于点O,AM,CN分别是BAD和BCD的平分线,B,D.(1)如图,AM,CN相交于点P.当时,判断APC与的大小关系,并说明理由;当时,请直接写出APC与,的数量关系;(2)是否存在AMCN的情况?若存在,请说明,的数量关系;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当时,APC.理由如下:

5、OCDDBOAB,DB,OCDOAB.AM,CN分别是BAD和BCD的平分线,OCD2DCN,OAB2PAN,DCNPAN,又DCNDPANAPC,APCD,APC.当时,APC()(2)不存在,理由也下:若AMCN,则MANANC,ANCNCDD,MANNCDDNCD.同理OCNBAMBBAM,MANOCNBAMNCDAM,CN分别是BAD和BCD的平分线, BAMMAN,DCNNCO,0,不合题意,矛盾,不存在AMCN.二、三角形的内角和与三角形的高3.如图,AD是BAC的平分线,CE是ADC边AD上的高,若BAC80°,ECD25°,则B的度数为( C ).A.40&

6、#176; B.35° C.25° D.65°4.如图,在ABC中,B2C,AE平分BAC交BC于点E.(1)若ADBC于点D,C40°,求DAE的度数;(2)若EFAE交AC于点F,求证:C2FEC.【解析】(1)C40°,B2C,B80°.BAC180°BC60°,AE平分BAC,EACBAC30°,AEDEACC70°,又ADBC,ADE90°.DAE180°90°70°20，(2)B2C,BC180°3C. AE平分BAC,EACBAC9

7、0C.AEEF,AEF90°.AFE180°EAFAEFC.FECAFECC,即C2FEC.专题3 三角形的内角和与三角尺1.(江岸区月考)如图,将一块直角三角板DEF放置在锐角ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C,若A43°时,点D在ABC内,则ABDACD的值是( B ).A.43° B.47° C.53° D.57°2.如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板,按如图所示摆放,其中C90°,B45°,E30°,则BFD的度数是( B

8、 ).A.10° B.15° C.25° D.30°3.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边重合,则1的度数为( B ).A.60° B.75° C.65° D.70°4.(2017·青山区期末)如果将一副三角板按如图方式叠放,那么1 105° .5.一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中A60°,F45°),使点E落在AC边上,且EDBC,则CEF的度数为 15° .6.将一副三角板中的两块直角三角

9、尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.(1)如图,若ECD35°,则ACB 145°若ACB135°,则ECD 45° ;猜想ACB与ECD的数量关系,并加以证明;(2)若三角尺ACD不动,将三角尺BCE的CE边与CA边重合,然后绕点C按顺时针方向任意转动一个角度,当ACE(0ACE90°)等于多少度时,这两块三角尺各有一条边互相垂直,先画出所有可能的图形,并求出ACE角度所有可能的值;(3)若三角尺ACD不动,将三角尺BCE的CE边与CA边重合,然后绕点C按顺时针方向每秒钟旋转15°,旋转过程中两三角尺斜边无重叠,旋转时间为ts在旋转

10、一周过程中,t为何值时,AD与BE平行?【解析】(1)ACBDCE180°理由:ACEECDDCBECD180°,ACEECDDCBACB,ACBECD180°.(2)画图略,CEAD时,ACE30°EBCD时,ACE45°BEAD时,ACE75°,ACE角度所有可能的值为30°,45°,75°，(3)当ADBE时,延长BC安AD于点H(如图),AHCB45°.AHCHCDD,HCD15°,DCE75°,ACE165°,旋转时间t165°÷15&

11、#176;11s.当BEAD时(如图),易知ACEBCD15°,此时旋转时间t345°÷15°23s.综上所述,t11或23时,AD与BE平行. 专题4 三角形的内角和与折叠1.(武昌区期末)如图,把ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE的内部点A处,则A与1,2的关系为( D ).A.A12 B.3A2(12)C.3A212 D.2A122.(汉阳区期末)如图,将ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A处,且AB平分ABC,AC平分ACB,若BAC110°,则12的度数为( A ).A 80° B.90° C.100&

12、#176; D.110°3.如图,纸片ABC中,C45,B115°,将纸片的一角折叠,使A落在ABC外,则12等于( A ).A.40° B.50° C.60° D.70°4.如图,将ABC沿DH、HG、EF翻折,三个顶点均落在点O处.若140°,则2的度数为( D ).A.50° B.60° C.90° D.140°5.在我们的生活中处处有数学的身影,如图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理: 三角形的内角和是180°

13、.6.(洪山区期中)如图,将ABC沿DE,EF翻折,顶点A,B均落在点O处,且EA与EB重合于线段EO,若CDOCFO98°,则C的度数为 41° .7.(江岸区月考)如图,ABE和ADC是ABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的,若1:2:315:3:2,求的度数.【解析】1:2:315:3:2,123180°,1135°,227°，318°，由翻折的性质可知EBA2,DCA3,EBCDCB22232×27°2×18°90°.专题5 三角形的内角与外角(思想方法一)一、

14、转化思想1.如图,已知A60°,B30°,C20°,求BDC的度数(用三种方法解答)【解析】方法一:如图,连接AD并延长,31B,42C,12BAC,BDC34(B1)(2C)BBACC110°.方法二:如图,延长BD安AC于点H,DHCBA,BDCDHCC,BDCBAC110°.方法三:如图,连接BC,DBCDCB180°A12,DDBCDCB180°,DA12110°. 二、方程思想2.已知:如图,BP,CP分别平分ABC的外角CBD,BCE,BQ,CQ分别平分PBC,PCB,BM,CN分别是PBD,PCE的角

15、平分线.(1)当BAC40°时,BPC 70° ,BQC 125° ;(2)当BMCN时,求BAC的度数;(3)如图,当BAC120°时,BM,CN所在直线交于点O,直接写出BOC的度数.【解析】(2)BMCN,MBCNCB180°.BM,CN分别是PBD,PCE的角平分线,(DBCBCE)180°,即(180°BAC)180°,BAC60°.(3)BOC45°提示:BAC120°,MBCNCB(DBCBCE)(180°120°)225°.BOC225&#

16、176;180°45°.专题6 三角形的内角与外角(思想方法二)一、整体思想1.已知ABC,(1)如图,若点P是ABC和ACB的角平分线的交点,P与A有什么关系?请说明理由;(2)如图,若点P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点,P与A有什么关系?请说明理由；(3)如图,若点P是外角CBF和BCE的角平分线的交点,P与A有什么关系?请说明理由.【解析】(1)P90°A.理由:点P是ABC和ACB平分线交点,PBCABC,PCBACB,ABCACB180°A,P180°(PBCPCB)180°(ABCACD)180°(180

17、°A)90°A.(2)PA.理由:PPCEPBC,PCEACE,PBCABC,P(ACEABC) A.(3)P90°A.理由:ABCACB180°A,PBCPCB(FBCECB)360°(ABCACB)90°A.P180°(PBCPCB)90°A.二、从特殊到一般思想2.【问题背景】(1)如图的图形我们把它称为“8字形”,请说明ABCD;【简单应用】(2)如图,AP,CP分别平分BAD,BCD,若ABC36°,ADC16°,求P的度数;【问题探究】(3)如图,直线AP平分BAD的外角FAD,CP

18、平分BCD的外角BCE,若ABC36°,ADC16°,请猜想P的度数,并说明理由;【拓展延伸】(4)在图中,若设C,B,CAPCAB,CDPCDB,则P与C,B之间的数量关系为(用, 表示P,不必证明).【解析】(1)在AOB中,ABAOB180°,在COD中,CDCOD180°.AOBCOD,ABCD.(2)由(1)知2B3P,1P4D,2B4D3P1P,又12,34,P(BD)26°.(3)P26°理由:PABBAOPPCBDCBD,BAD180°2PAB,DCB180°2PCB,PPABDPCB.又PPABB

19、PCB,2PBD,即P(BD)26°.专题7 三角形的内角与外角(思想方法三)一、分类讨论思想1.已知非RtABC中,A45°,高BD,CE所在的直线交于点H,画出图形并求出BHC的度数.【解析】如图,有两种情形,BHC的度数是135°或45°.2.若BAC是ABC的最大内角,ABC的高BD,CE所在的直线相交于点O,点D,E都不与点A重合.猜想BAC和COD有何数量关系?请画出相应的图形,并证明你的结论.【解析】BAC和COD数量吴系为BACCOD或BACCOD180°.分两种情况付论:当ABC为锐角三角形时,必所示;当ABC为钝角三角形时,

20、如图所示.二、类比思想3.(1)如图,ABC是锐角三角形,ABC的外角ACD的平分线与边AC上的高BE的延长线交于点F,若ABC45°,BAC65°,求F的度数;(2)在图中,若ACBa,其他条件不变,求F的度数(用含a的式子表示);(3)如图,在ABC中,ACB是钝角,ABC的外角BCD的平分线与边AC上的高BE交于点F,若ACBa,则BE与CF相交所成的角的大小是(用含a的式子表示).【解析】(1)ACDAABC65°45°110°,由CF平分ACD,得ACFACD55°.由三角形内角和定理,得F180°90°

21、ECF90°55°35°.(2)ACD180°ACB180°a,由CF平分ACD,得ACFACD90°a,由外角的性质,得FBECECF90°(90°a) a.专题8 多边形的内角与外角1.（1）如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，B1，B2，B3，B4，B5，求B1B2B3B4B5的度数；（2）若延长凸n边形A1A2An的各边得n个角，则得到n个角的和等于   解：（1）如图，1B2B4，2B1B3，12B5180°，B1B2B3B4B5180°；（2）若延长凸n边形A1A2An的各边得n个角，则得到n个角的和（n2）180°n180°（n2）180°（n4）180°2如图，在四边形ABCD中，延长BA，CD交于点E，延长AD，BC交于点F，EP，FP分别平分BED，AFB，B47°，ADC147°，求P的大小【解析】如图，由四边形的内角和，得12360°B5360°47°147